3.2. ВИБРАТОРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ

Рассмотрим излучение симметричного электрического вибратора, представляющего прямолинейный цилиндрический проводник длиной 21 и радиусом а, питаемый в центре генератором напряжения Vo высокой частоты. Будем считать, что вибратор помещен в однородное изотропное пространство с параметрами Со, Но и ориентирован таким образом, что ось цилиндра совмещена с координатной осью Z, а его центр - с началом координат (рис. 3.1). В точках z= = ±Sn (n=l, 2,..., N) симметрично относительно центра вибратора прорезаны узкие поперечные щели, рассекающие его плечи, а в рассечки включены сосредоточенные комплексные сопротивления Z . Геометрические размеры вибратора соотносятся между собой и длиной волны как л<1, а<С. При соблюдении этих условий и с учетом осевой симметрии вибратора допустимы следующие предположения [39].

1. На поверхности вибратора существует только электрический ток, который течет параллельно его осн. Поверхностная плотность тока Л(2) равномерно распределена по окружности поперечного сечения, поэтому полный ток Iz(z)~2naJz{z). Этот ток считается непрерывной функцией в области возбуждающего зазора и рассечек с нагрузками и обращается в нуль на концах вибратора, т. е. удовлетворяет условиям

Jz(l)=Jz( - l) = 0. (3.1)

Возможна также аксиальная аппроксимация тока на вибраторе, когда поверхностный ток заменяется бесконечно тонкой нитью продольного электрического тока, расположенного на оси вибратора.

2. Касательная составляющая вектора Eiz), создаваемая током lz{z) на боковой поверхности вибратора, т. е. при р=а, обращается в нуль (идеально проводящий вибратор) либо, в случае проводника с распределенным поверхностным сопротивлением, согласно приближенному граничному условию Леон-товича равна [40]

где Z(z) - комплексное сопротивление провода на единицу длины в текущей точке 2.

3. Составляющая Ег на боковой поверхности в области возбуждающего зазора шириной b приравнивается некоторой возбуждающей функции £b(z). Предполагается, что зазор очень узкий: Ь</, Ь<?о, тогда Eb(z)=-Ve{z), гце 6 (г) - дельта-функция Дирака. Аналогично записывается напряженность поля в зазорах z=±s : Ez{±s ) =V b{zSn). где Vn=Iz(±Sn)Z . Опираясь на исходные предпосылки и сделанные допущения, можно показать, что распределение тока Iz{z) вдоль вибратора описывается интегральным уравнением

Рис. 3.1. Симметричный вибратор с включенными нагрузками

j l,(z)G(z-z)dz-i

(г) Z (г) sin k (г- г) dz = С cosftz-

,4 я

]-Jsmk\z\ + j V-S Znlz{sn)u(]z]-sn)sink{]z]~sn).

где G(z-2f) - функция Грина: я

[-MУ(г-2) + 4 a sln <pl V(2 -z) + 4aasii?q)

С (2

(3.2)

(3.3)

Zo - волновое сопротивление свободного пространства; и(х)-единичная ступенчатая функция Хевисайда.

Решение уравнения (3.2) получается путем сведения его к системе алгебраических уравнений методом коллокации (согласования в точках). Искомая функция /j(z) заменяется приближенной к ней функцией 1и(г). которая представляется в виде разложения в ряд по конечному числу 2М базисных функций: м

hz(z) = 2 тФт(г), (3.4).

т=-М

где 1т - коэффициенты разложения.

В качестве базисных зачастую выбирают кусочно-постоянные (импульсные) функции:

1, z -А<г<г-}-А ; z<z -А, 2>г-}-А.

Аппроксимация тока на вибраторе в stou случае имеет вид, показанный на рис. 3.2. Здесь плечо вибратора I разбито иа М+1 интервалов, М из которых равны между собой: 2A=Z/(Af-bO,5), а (ЛИ-1)-й интервал, расположенный

Фт (г)

(3.5)

IJz)

-z, о z,

Рис. 3.2. Аппроксимация тока вибратора

у конца вибратора, равен А. К выражению (3.2) при I{z)-hz{z) предъявляется требование, чтобы равенство соблюдалось лишь в 2М точках Zm, соответствующих центрам выбранных интервалов:

2±т= ± (2/п - 1) А = ± (2/п - 1) 11(2 М -Ь 1).

Точки z=z±(Af-H)A совпадают с концами вибратора, в которых согласно (3.1) ток равен нулю. После подстановки (3.4) и (3.5) в (3.2) лолучена система из

2М+1 линейных алгебраических уравнений относительно 2М коэффициента разложения тока If и неизвестного коэффициеята С: М

2 pIp+CcoskZm=Fm, 1П=±1. ... , ±М; (3.6)

р=-m

ЛтР= I <?(гт-\г)г-j-2 2 sin2*A +-) X

(6p(g i, Н- брд) Н- j Z (г) sin ft (z -z) /fe ;

m -j -J-sin Alz . (3.7)

Здесь бр9 - символ Кронекера.

Преобразование уравнения (3.2) к системе (3.6) приводит к тому, что сосредоточенные сопротивления нагрузки Zn могут подключаться лишь в дискретных точках 8я=2Д(9-I), соответствующих границам интервалов 2А, где q - номер участка, перед которым подключается п-я нагрузка, п<М+1. Так, если q-\, то нагрузка подключена в точке питания вибратора, а если 9== =М-И, - то на расстоянии Д от его конца.

Особенность в точном ядре (3.3) уравнения (3.2) при т-р выделяется путем интегрирования первого слагаемого выражения (3.7) по частям, что приводит к следующему представлению диагонального члена матрицы А:

\ О(0.. = А \ t55PJbM\ , = 2, 2 +

где t=Zm-z; c=2a sin ф.

Интегралы в (3.6) при А>-а легко находятся численными методами. Нетрудно показать, что изложенный здесь способ сведения интегрального уравнения к системе алгебраических полностью эквивалентен саморегуляризации этого уравнения и решению методом Крылова - Боголюбова [41], если параметр регуляризации /г=Д при идентичных базисных функциях. Решение алгебраическо!} системы (3.6) устойчиво, если Д>-а. Оптимальным значением считается Д а [42], что эквивалентно требованию практической неизменности тока вдоль вибратора на длине участка порядка его радиуса. В матричной записи система (3.6) имеет вид

Д/> = У=>, (3.8)

если при этом ввести обозначение /2м+1=С.