Пусть четырехполюсник образован стыком двух линий с различными волновыми сопротивлениями (рис. 3.3). Коэффициент отражения от стыка равен р, а электрические длины подводящих отрезков одинаковы и равны 6/2. В этом случае Sii=pexp(-i0), S22=-рехр(-ie), S2i=Si2=Kl-рехр(-ie). Матрица передачи такого четырехполюсника

Цеб; р

ii7ii =

УГ= II Р

(3.7)

Обратимся к рассмотрению ступенчатого перехода, состоящего из п промежуточных ступенек одинаковой электрической длины е (см. рис. 3.1). Выделим в переходе сечения, проходящие через середины ступенек и указанные на рис. 3.1 штриховой линией, а также входное и выходное сечения, обозначенные на рисунке номерами О п п+\ соответственно, отстоящие от сечений 1 и /г на длину ступеньки. Связь между амплитудами волн в соседних сечениях выражается соотношениями вида (3.6):

\\т\\ЛЛ ;

\Иовр i

\ о6р

(::).; 4::L

где 1111 , = -- I . -матрица передачи

Vl-Pft* II Рл: е-е II скачка волновых сопротивлений между k-fi и (Л-Ы)-й ступеньками.

Соотношения (3.8) позволяют найти связь между амплитудами прямых и обратных волн во входном и выходном сечениях:

V o6P V o6p/n-H

обр/,

где результирующая матрица передачи ЦГЦрез равна произведению матриц передачи отдельных скачков волновых сопротивлений:

II7 Ире,-IIГ Но ЦТ111 IITIIn- (3.9)

Обычно удобнее относить входное сечение О и выходное сечение л+1 к местам скачков волновых сопротивлений т. е. сдвигать их на половину длины ступеньки. Для пересчета матрицы передачи к этим сечениям jf (рез следует умножить слева и справа на матрицы, обратные матрицам передачи однородных отрезков линии, имеющих электрическую длину 8/2. Получающаяся при этом матрица

е-в/2; о

е-1в/2 О

О -eie/2

Перемножение матриц сводится к тому, что коэффициент f pe, умножается на ехр(-i0), коэффициент fггрез - на ехр (16), а коэффициенты fzipea и fi2pe3 остаются ббз изменвний.

Используя правила матричного умножения, получаем, в частности, для двух стыков (одной промежуточной ступеньки):

е9 + РоРхе-9; р e-e-f р,ев

Vi-pI Ki-p?

р ее -f Pie-s; e-e-f p p ee

(3.10 a)

Для трех стыков (двух промежуточных ступенек).

tlv = [(1 -Р?) (1 -Р?) (1 -Р]- [е + Рх (Ро+ рг) + + РоР2е-29]; tg>=t\f;

tiv = [(l-9l) 1 -Р?) (1 -Р)]- [р е2в +

+ Pi(l + P P2)+P2e-ej; Л2>=ГГ. (З.Юб)

, Для четырех стыков (трех промежуточных ступенек): t[v = [{1 -Ро)(1 -Р?) (1 -Р) (1 -Pf[ее +

+ (Ро Pi + Pi Р2 + Р2 Рз) ео + (Ро Рг + Р1 Рз + + РоР1Р2Рз)е-в-Ьр рзе-зв];

тй = [{1-р§)(1-р?)(1-р)(1-р!)]-/х

X {ро езв + [р, + р р, (р, + Рз)] ее -f + [Р2 + Рх Рз (Ро + Р2)] е-9 + Рз е-3в} ;

TW=7M)* (3.10 в)

Уровень согласования, обеспечиваемый переходом, определяется коэффициентом Г21 матрицы передачи, равным, как следует из (3.5), отношению его коэффициента отражения к коэффициенту передачи. Задача синтеза перехода заключается в подборе волновых сопротивлений промежуточных ступенек таким образом, чтобы минимизировать коэффициент т21 результирующей матрицы передачи в заданном рабочем диапазоне длин волн.

Рассмотрим общие свойства коэффициента т21. Пусть f <>рез- матрица передачи k последовательных скачков волнового сопротивления:

Добавление еще одного скачка волнового сопротивления приведет к умножению этой матрицы на матрицу вида (3.7). Согласно правилам матричного умножения

1 е-е + Pfe+i ГЦ) ; р+, Т\\ + Г*) е-е

Vi -р+, г() ее + р,+1 г,*); р,+, r<f) + 7*,) ев

Сопоставляя это выражение с матрицей передачи одного скачка волнового сопротивления, находим, что элемент 721 + матрицы передачи перехода, состоящего из п ступенек, является суммой полиномов степени п от exp(ie) и ехр (-10), причем коэффициенты полиномов опредСоТяются коэффициентами отражения от стыков и являются чисто действительными величинами, не зависящими от длины волны. Учитывая, что exp(±ie) =cos e±i sin9, (isin9)2 = cos2 9-1, можно записать

Tn+i) (cos 9) + i sin 0 Q i (cos 0),

где Pn и Q i - полиномы степени n и n-\ соответственно с чисто действительными коэффициентами

Изменение электрической длины всех ступенек на я, как следует из (1.8), не меняет входного сопротивления и, следовательно, не меняет коэффициента отражения При четном числе ступенек коэффициент передачи также не меняется, а при нечетном - меняет знак. Поскольку cos(9Ч-л) =-cos 9, sin(9-f л) =-sin 9, то Pn{~x)~[V l-x2Q i(-x)=±l[P (x)-fil/l-x2Q ,(x)], откуда следует, что Р - четный либо нечетный полином, а Qn-i - соответственно нечетный либо четный полином

Для любого реального перехода при стремотении электрической длины ступенек к нулю выражение для Г21 должно стремиться к величине, соответствующей непосредственному стыку соединяемых линий

7, = lim [Р (x) + i УТ Q i (x)] =

=РЛ1) = VJY \=vl = (ш -1)/(2 Yw), (3.11)

где Го = (ш-1)/(ш-Ы) - коэффициент отражения от непосредственного стыка соединяемых линий

Это условие накладывает ограничения лишь на коэффициенты Рп, тогда как коэффициенты Q -i могут быть совершенно произвольными.

Поскольку задачей синтеза является минимизация абсолютной величины коэффициента Ггь а Г2112 = P2 -f Q2 , sin 9, можно заранее ограничиться рассмотрением переходо1В, для которых

Используя свойства взаимности и отсутствия активных потерь в переходе ьожно показать (см. приложение 2), что условие ра-