Длина ступенек в этом Случае также определяется (3.17). На краях рабочего диапазона принимает максимальное значение, равное согласно (3.18)

Из этого выражения определяют число ступенек л, необходимое для реализации заданного допуска на рассогласование.

3.2. Методы синтеза

Существ}ют различные методы, позволяющие для выбранного вида рабочей характеристики рассчитать реализующие ее волновые сопротивления ступенек. Для п4 имеются явные аналитические формулы.

Полином, описывающий т21, однозначно задается распределением его нулей и условием нормировки (3 И), причем ввиду указанных ранее свойств четности этого полинома его нули должны быть распределены симметрично относительно значения Э = л/2. Прн нечетном числе ступенек по крайней мере один нуль должен находиться в точке б = я/2.

Рассмотрим случай двух промежуточных ступенек Пусть Г21 и, следовательно, коэффициент отражения Г обращаются в нуль при 9 = 61 и 0 = л-9i Из выражения (3 13 6) получаем

4poCOS0i+Pi-2po+PoPi=O. (3.21)

Использовав условие (3.126) W2 = w/wu выразив ро и pi через волновое сопротивление первой ступеньки:

= (Ш-Ш?)/(Ш + Ш?).

Подставив эти выражения в (3 21), получаем после несложных преобразований

wf~[{w-~ l)/tg2 Oil wl-w = 0,

откуда

K,j=(ffi, l)/(2tg2ei) +К(ш-1)7(2 tg2 0i)2 +да ; ww/Wi.

(3.22)

Подставляя в (3.22) требуемое значение tg2 9b получаем реализующие его значения Wi и W2 Для чебышевской характеристики согласно (3 16), (3 18), (3 15)

cos 0i/sin (лА/4) =cos (л/4) или tg 9 =[2-sin (nA/4)]/s[n (яА/4). ля максимально-плоской характеристики 01=л/2, да,--

/ W W2=V

Для п=3 окончательной формулы имеют следующий вид: W2= Yw\ W3 = w/w а wi определяется из уравнения

iw~~ l)/tg2 0, = + 2 Vww-2 Vwlw-wlwl (3.23)

в случае чебышевской характеристики: >

cos 01= sin (пА 4) cos (л/6); tg2 01 =(4 - 3 sin (пА/4)]/[3 sin (яА/4)]. В случае максимально-плоской характеристики 9=л/2. Для п = 4: Wi= yl ; = w/Ws;

Щ = Va/Wi; = w/wi, где I и Q определяются из уравнений:

l+ y-y [2 Vaw{a-w)~ -(a-a) (tgei + tgea)]- =0; a~l{w-l) w/{tg gi tg2 e)] a-0/3 = 0. (3.24)

В случае чебышевской характеристики

cos 01 =sin (лА/4) cos (л/8) ; cos 02 = sin (лА/4) cos (3 л/8).

В случае мйксимально-плоской характеристики 01 = 92 = л/2.

Для произвольного числа ступенек существуют точные методы [1, 2], позволяющие последовательно вычислять волновые сопротивления ступенек. Эти методы, однако, требуют весьма трудоемких вычислений, производимых обязательно с высокой точ-

Ши практически мало пригодны при л>6. {Практических целей можно ограничиться приближенным й№еМотрением, при котором учитывают лишь однократные отражения волны от ступенек перехода. Погрешность в определении коэффициента отражения при этом имеет порядок p, и точность расчетов остается удовлетворительной вплоть до достаточно больших перепадов волновых сопротивлений (шдаЮ), причем с увеличением числа ступенек и соответственным уменьшением коэффициента отражения от одной ступеньки точность расчетов увеличивается.

В приближении однократного рассеяния коэффициент отражения перехода, состоящего из п промежуточных ступенек, описывается выражением

Г (Э) = Po + Pi e-29-f Р2 e-ie-f ...-f р е-2 в. (3 35)

Это выражение является полиномом степени п от ехр(-2i0), причем, поскольку замена 0 на л-0 не меняет абсолютной величины, его нули расположены симметрично относительно 0=л/2*.

В случае действительных симметричных нулей условие антиметрии (3 12 а), к можно показать, выполняется автоматически.

Пусть 01, я-01, 02, я-02..- нули Г(0). Выражение (3.25) можно

представить в виде

Г (9)= Л (е-21в е-2в.) (е-2в-е2в.) (e-2ie e-2ie.) х X (е-21в е2 в.)... = Л (1 -2 cos 2 Gi е-2в + е- ) (I -

-2cos 2 9 е-2в + -Ш) ... (326)

При нечетном п по крайней мере один нуль находится в точке 0=п/2 и последним множителем в (3.26) будет [1 + ехр(-2i0)],

Производя перемножение в (3.26) и сравнивая результат с (3.25), получаем отношение парциальных коэффициентов отражения от ступенек перехода. В частности:

при л = 2 Г(0)==Л(1-2соз201е-2в-1-е-<в); PoPiPal:(-2cos20i): 1; при п = 3 Г(0)в=Л(1-2соз201е-2<в + е-<в)(1+е-2в) = = Л [ 1 + (1 - 2 cos 20i) е-2в + (1 2 cos 20i) e-<i9 + е-бв]; PoPiJParps 1 :(1 -2cos20i):(l -2cos20i): 1; при n = 4 Г(9) = Л;[1 -2(cos2ei+cos20ij)e-29 + + 2 (1 + 2 cos 2 Gi cos 2 G) е-в- 2 (cos 2 Gj + cos 2 G,) e-e + e-sioj;

Po: РГ- P2: Ps: p4 - 1: [ - 2 (cos 2 G + cos 2 G)): : [2 (1 + 2 cos 2qi cos 2 G)]: [ - 2 (cos 2 Gi + cos 2 G)]: 1. (3.27)

Волновые сопротивления ступенек связаны с величинами р< соотношениями рг= {Wi+i-Wi){(Wii + Wi); Wi+i/Wi=(l+pi)/il-pi).

Установлено, что ошибка в определении wu связанная с приближенным характером рассмотрения, уменьшается, если связать г и р,- приближенным соотношением

2р, = 1п(ш,+1/и;г); и/г+Т/а;; = ехр (2 р). (3.28) Полагая в (3.25) 0=0, получаем с учетом (3.28) 2r(0)-2po + 2pi+... + 2p =lnffi)i +

+ In (ШгМ) +... + In (ш/и; ) = In ш*. (3.29)

Соотношение (3.29) заменяет условие (З.П) для приближения однократного рассеяния.

Поскольку нули коэффициента отражения совпадают с нулями Tsi, значения bk, определяющие выражение (3.26), берутся из точных формул для Ггь хотя в реальном переходе из-за многократного отражения волны нули несколько сместятся.

Для переходов с чебышевской характеристикой из (3.15), (<>щ, (3.18) находим значения нулей коэффициента отражения:

См. формулг (5.1).