Обратимся к гравипныи условиям на поверхности вибратора. При бесконечной проводимости проводов, образующих вибратор, касательная компонента вектора напряженности электрического поля па боковой поверхности плеч должна быть равна нулю всюду, кроме зазора между плечами, где она равна некоторому значению E(z). С учетом (6.2) это условие можно записать в ииде

= [0пРи11>/2 (63)

дг * liO)sfi£(2) при 2КЬ/2,

где Ь -ширина зазора между плечами вибратора.

Неоднородное дифференциальное уравнение (6.3) имеет решение

X Ге-Р f £(2)ePdz-feP X

-ь/2

X f £ (2) e-Pdz . (6.4)

Поле поверхностного тока, текущего по боковой поверхности кругового цилиндра радиуса а параллельно его оси, при отсутствии азимутальной вариации эквивалентно полю линейного тока, протекающего по оси цилиндра и равного I{z) = = 2naJs{z).

Соответственно

dz.

(6.5)

где r=-Ya+{z-zy для точек, лежащих на боковой поверхности вибратора Приравнивая правые части (6.4) и Рис в.1 (6.5), получаем интегральное уравнение

относительно неизвестной функции распределения тока I{z), которое называют по имени его первого исследователя уравнением Галлена

/ /(г)d2 = CieP-fC2e-P--5x е-Р I Е (г) еР dz -f еР JЕ {г) е-Р-

(6.6)

ибпато** 1 ) должно выполняться не только на боковой поввр.хности ЙоКиа УР поверхности. Формула (6 бможе?

рассматрнваткя как выражение для векторного потенциала Л, на оси вибра-

Здесь Zq = ]/ ц/е - волновое сопротивление ореаы- г =J

Прежде чем обратиться к рассмотрению методов решения уравнения Галлена, его следует упростить. В коротковолновом диапазоне волн зазор между плечами вибратора может считаться ис-чезающе малым по сравнению с длиной волны. В этом случае интеграл в пра1вой части можно вычислить, приняв в нем значение экспоненциальной функции равным единице и обозначив среднее значение напряженности электрического пОля в зазоре Eq:

Е (г) е*Р dz Е, Ь.

Предположим, что вибратор возбуждается источником сторонней ЭДС, представляющим собой идеальный генератор напряжения с нулевым внутренним сопротивлением н ЭДС, равной [/о (ом. рис. 6.1). Тогда из закона Кирхгофа о равенстве нулю суммы напряжений в замкнутом контуре следует

ЕоЬ = ~и,. (6.7)

При теоретическом анализе часто используют другую модель возбуждения вибратора. Предполагается, что зазор между плечами вибратора отсутствует, а ток в вибраторе возбуждается некоторым сторонним полем Ест, существующим в пределах узкой полоски шириной Ь. Напряжение, соответствующее этому полю,

Т E,A)dz=U,.

Результирующее поле, являющееся суммой стороннего поля и поля, создаваемого током в вибраторе, должно равняться нулю у идеально проводящей поверхности вибратора. Это условие выражается равенством (6.7). Таким образом, обе модели возбуждения вибратора эквивалентны.

С учетом (6.7) уравнение Галлена приобретает вид

/ Hz) dz =Ci eP + C е-Р-+ р U, е*К (6.8)

В экспоненте при последнем члене в пратой части (6.8) знак минус относится к отрезку 0<z</, плюс -к отрезку -/<20. Правая часть i(6.8) приводится к более удобному для расчетов виду заменой экспонент тригонометричесиими функция-

TOipa, создаваемого токами, текущими по боковой поверхности вибратора, а <6.3) - как условие равенства нулю полного поля на оси вибратора

Независимо от Е Галлена это уравнение было получено и подробно исследовано в работах М А. Леонтовича и М. Л. Левина.

М1И. Вводя новые постоявные сз и ct, можно записать (6.8) 8

виде

j / (г) dz = Сз cos р Z + С* sin рz-i (/ sin р z. (6.9)

Здесь член Сз cos pz включает слагаемое (2л/2о) t/o cos pz.

У симметричного вибратора распределение тока симметрично отаооительно точки z=0: I{z) = I{-z). Это же условие справедливо и для векторного потенциала Az, создаваемого этим токомз Aziz)=Az(-z). Поэтому в (6.9) постоянную d следует принять равной нулю, и уравнение Галлена принимает вид

/ /(г)£Ь=Ссо5рг -i sin р г , (6.10)

гд.е Учтено, что волновое противление свободного пространства

Неизвестную постоянную с можно исключить. Для этого положим в (6.10) значение переменной z равным нулю. Тогда

С = 1{г) dz, где Го= Vz+a\

С учетом этого (6.10) принимает вид

/ /(2)/C(z,z)dz = -i sinp г, (6.11)

где ядро (Интегрального уравнения

к (2, г) =e-PVr-COS (Р z) e-Po/r .

6.3. Методы решения уравнения Галлена

Уравнение Галлена первыми его исследователями решалось методом последовательных приближений. Остановимся на основных моментах этого решения, поскольку его результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. В качестве первого шага при решении левую часть (6.10) преобразуют к виду

/ (г) dz = [/ (г)-/ {z) + i{z) е-31 =

i(z) e--i{z)

-f- . (6.12)

где в первом слагаемом учтено, что функция I{z) не зависит от переменной интегрирования z и ее можно вьшести из-под знака интеграла. Производя интегрирование в первом слагаемом, получаем с учетом того, что г= У {z-z+ah

/ -f- =Q+S. (6.13)