Q = 21n(2 fl); б = 1п{-1-[/ i +

После подстановки (6.13) в (6.12) и далее (6.12) в (6.10) получаем

/ (г) -(С cos p2-i sin р 2 )-

На концах вибратора при \z\=l ток должен обращаться в нуль. Полагая в (6.14) z=l, находим

0=- Ccosp/-i

(6.15)

(6.16)

,p/ i3inp/)--i-/ /(.)dz.

где гх = У [l-zy+a.

Вычитая (6.15) из (6.14), получаем

/(2)=-[C(cospz-cosp;)-i X

X (sin PIZI-sin Р/)]--!-(/(2)6 +

+ [/(2)e-P-/(z)] I{z) dz} .

Уравнение (6.16) решается относительно 1{г) методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения принимается первый член из правой части (6.16);

h (г) = [с (cos р z-cos Р 0-i (sb р\z\ -sinp /)] . (6.17)

Подставляя это выражение в правую часть (6.16), получаем следующее приближение:

.<.-iKn(..-)-ii(o.(..- -)], (a.,s,

где Fo (г) = cos р г -cos р /; (г) =Fo W б +

+ { \F, {z) e-P-F (2)1 - J Fo(2) dz ;

G, (2) =sin p 2 -sin p / ; Gi (2) =Go (z) 6 + + / lGo(z)e-fP--Go (2)1 - f G (z) d2.

Это выражение можно вновь подставить © npaiByro часть (6.16> и т. д. В результате получается разложение для тока по обратным ствпенЯМ большого параметра fi. Значение константы С находится подстановкой разложеаия для тока в (6.15):

= -Т- . (6-19)

cosp/+-., + ..

TG = -iG (z)d2; --

- f Fo(2) -

Подставляя (6.19) в (6.18), получаем с точностью до членов порядка l/fi2

где x=ForG-OoXF-Fi sin fil+Gi cos р/.

Разложение (6.20) справедливо, если Q является большим параметром и последующими членами разложения можно пренебречь. За условную границу можно принять Q=IO или а 75. При стремлении радиуса провода к нулю выражение для тока стремится к аиду

/(z) = /sinp(/-z). (6.21)

Это выражение широко используется в приближенных расчетах антенных характеристик (см. § 6.4, 6.5). Расчет входного сопротивления по (6.20) дает удовлетворительную точность для тонких вибраторов, однако неудобен для практически важных случаев 1лХ/4 и Х/2, поскольку требует вычисления громоздких выражений X и Тр..

В настоящее время наиболее распространены численные решения уравнения Галлена методом моментов. Суть метода сводится к следующему. Искомую функцию распределения тока /(г) представляют в виде суммы линейно-независимых функций:

/(г) =2 р(А (6.22)

называемых базисными функциями. Коэффициенты 1р здесь являются неизвестными весовыми коэффициентами, с шторыми базисные функции fp аппроксимируют истинное распределение тока. После подстановки (6.22) в (6.11) интегральное уравнение для распределения тока преобразуется в функциональное уравнение

f (г) К (г, г) dz = -i sin р \z\. (6.23)

ripiaBHHBaHHe иравой и левой части (6.23) осуществляегся

следующим образом. Обе части (6.23) умножают на яёаййорунэ функцию ф(2), называемую весовой функцией, и интегр,иру1от; по Z. Результат интегрирования называется моментом исходного выражения по отнощенню к функции ф(2). Вычисляя моменты функционального уравнения (6.23) по отношению к системе линейно-независимых функций ц>р{г), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов Ip-.

Д ( ( -- Р

S /р*/ / /р(г)ф2(2)/С(г,г)йгйг = -1 / (г) sinрг dz ;

2 /р/ / /p(г)Фл.(г)C(г,г)dгdг = -i / Фл,(г)sinpгdг.

(6.24)

Если весовые функции выбирают идентичными базисным функциям, т. е. фр=/р, то данная разновидность метода моментов называется методом Галеркина. Достоинством этого метода является то, что ряд интегральных характеристик решения (например, излучаемая мощность и др.) обладает стационарными свойствами (см. § 6.4), т. е. слабо зависит от точности представления (ИСКОМОГО тока.

Базисные функции можно выбирать, в принципе, произвольно. К ним не предъявляют иных требований, кроме того, что они должны быть линейно-неэависимым(И, а решение с их помощью должно быть представлено достаточно точно. На практике выбору системы базисных функций уделяют исключительно большое внимание. От этого выбора зависит то М(Иним1альное число членов ряда N, при котором (искомое распределение тока аппроксимируется с требуемой точностью. В свою очередь, от числа членов ряда (6.22) зависит трудоемкость, а в случае сложных антенн -и принципиальная возможность решения задачи.

Обычно базисные функции выбирают в соответствии с физическими особенностями решаемой задачи. Например, в рассматриваемом случае сим(метр(ичного электр(Ического (вибратора базисные функции следует выбирать таким образом, чтобы они обращались в нуль на концах вибратора при \z\=l. Опыт практических расчетов показал, что решение имеет высокую скорость сходимости, если воспользоваться системой степенных базисных функций вида

/(z)=f /р(1-г )Р. (6.25)

предложенной Поповичем [7]. С ее иопольэовавием высокую точ- ость расчета распределения тока для вибраторов с длиной плеч i0,625X можно достигнуть уже при ЛГ=23.