Условие равенства потенциалов проводов 2-7 и условие равенства нулю суммарного заряда на этих проводах образуют систему линейных уравнений относительно плотностей зарядов т индуцированных на проводах 2-7 зарядом ti Решение этой системы подставляют в (2 13), после чего определяют потенциалы всех проводов, т е ф и ф12. Аналогично рассматривается случай, когда заряд помещен иа совокупность проводов 2-7, а провод / ие заряжен При этом находится Ф22

В инженерной практике применяется приближенный метод Хоу, позволяющий существенно сократить объем вычислений и во многих случаях получить простые аналитические формулы Согласно этому методу распределение зарядов по поверхности проводов, имеющих одинаковый потенциал, полагается равномерным Исходя из такого распределения рассчитывают потенциал каждого провода и полученные значения усредняют. Найденное таким образом усредненное значение потенциала обычно мало отличается от точного, найденного с учетом реального распределения зарядов.

Пример I Пусть di = 135,3 мм, йг=йь= .=7=6 мм, D = l м, Я=3 м

Заряд с линейной плотностью ti, помещенный на провод /, создает на проводах 1-7 в соответствии с (2 7) следующие потенциалы:

1 = (2яе)-1.4,485 ti ; 1 = (2 я8)-1-2,398 tj ; 3= V, = (2n8)-i2,4v5Ti;

Ve=(2 ji8)-i.2,528 ti ; = (2 яе)-*.2,565 tj. (2.14)

Поскольку средний заряд на проводах-2-7 равен нулю, согласно методу Хоу полагаем т2=тз= =т7 = 0, так что результирующие потенциалы проводов определяются лишь полем провода / и равны величинам, указанным в (2.14). Среднее значение потенциала на проводах 2-7 V2-7 ср= (2я8)--2,4185x1.

Таким образом, найденные по методу Хоу значения ф1,= (2яе)-*-4,485 и Vi2=(2ne)--2,486 Точные значения, определенные для данного примера с учетом реального распределения зарядов в проводах 2-7, равны (2n;8)- -4,482 и (2л8)--2,482

Для определения Ф22 положим т,=0, т2=тз= .. =т7=т/6. При этом иа проводах 2-7 создаются потенциалы

К2 = (2я )-1.2,952 т; = V, = (2 Я8)- .2,999 т ; 14= Кв=(2 я8)-1-3,082т ; V5= (2 Я8)-1.3,119 т.

Среднее значение потенциала Кз-т ср=(2яе)- 3,039т, откуда ф22= = (2ле)-1 3,039

Точное значение, полученное с учетом реального распределения зарядов, равно (2я8)--3,036 Согласно (2 2), (2 5) получаем: Wn = I47,20 Ом; W22= =99,73 Ом, Г12= 180,02 Ом Точные значения составляют: IF = 147,20 Ом; 22 = 99,70 Ом, Г,2= 180,06 Ом

Из рассмотренного примера видно, что для относительно больших вькот подвеса метод Хоу обеспечивает весьма высокую точность. Используя этот метод для рассматриваемой системы проводов, можгио получить достаточно общие аналитические формулы Пусть внешний проводник образован системой из л проводов Заряд с линейной плопностью т помещенный на внутренний провод, создает у его поверхности потенциал

К1=(2Я8)-1т1 ln(4 /di). (2.15)

Среднее значение потенциала, создаваемого этим зарядом иа внешних проводах,

CP = n- (2 Я8)-1 Ti In (2 ... rj/D ), где ru= у (2H)+{DI2V-2HDcos (2n(k-2)ln) (рис 2 5) Используя соотношение k=n-l

П [1--л;2 -2x cos (2яй/ + ф)] = 1+л;2 2л; cosrt ф, (2.16)

находим

12ср=(2яе)-М1п (4Я/0)-In / 1 0 /(4Я) ].

При 0<Я второй член в квадратных скобках можно отбросить и положить

К2ср (2яе)-1т1 In (4Я/0). (2.17)

Заряд с линейной плотностью Тг, равномерно распределенный по проводам внешней системы, создает у поверхности k-то провода потенциал

К,= (2яе)-Мт./ )1п[г2,4... г;+1.,/(гйГзй .. (2 18)

r[k = V4 Я2 + 02 со,2 [я (i+ft -4)/ ] -4ЯDcos [n(i + ft -4) /л] X X cos (я (i - k)/n) <- D sin (я (i - k)/n) при ~ U2/2 при,- = й.

Двухкратное усреднение r\k по 1 и по й при H>D дает

Каср 2Я. (219)

Средне

rthcp = y(dm D -l sm (я/я) sin (2 я/rt) ...sin [( -1)я/ ] =

= OV/2- (2 20)

Соотношение (2 20) получено из (2 16), в котором следует положить х=\ и продифференцировать его по ф при ф = 0С учетом (2 19), (2 20) выражение (2 18) приводится к виду

12ср=(2я8)-1 Т2 In [4 НКОУп dilD)] = (2 яе)-1 In (4Я/Оэ ). (2 21) Согласно (2 15), (2 17), (2.2;1) получаем

ф11= (2яе)-1 In (4Я/Й1) ; ф12 = (2яе)-1 In (4 ф22 = (2я8)-1 In (4 я/Оэ );

р £.£° °шение следует из тождества \z\\=\(z-z,) (z-z,)...(z-Zr.)\\ е г.-е я / -корни уравнении z -l =0, ори подстановке г=х е Ф.

= (Ф11 -ф?2/ф22) = 60 [In (4Я/й1) -1п2 (4Я/С)/1п (4Я/СэЛ; 12=с-1(ф11 -ф?2/ф22) Ф22/Ф12= Wii In (4Я/с8 )/1п (4 Я/D) ; 22 = с-1 (ф22 -Ф?2/Ф11) = 60 [In (4Я/Сэ ) -1п2 (4Я ))/1п (4Я/й1)],

Dgol/ndi/D . (2 22>

С ростом числа проводов в наружном 1про(воднике DD, ф22ф12 и линия по своим свойствам приближается к коаксиальной со сплошным экраном Так, для рассмотренного примера удвоение числа проводов приводит к следующим-результатам ф..= (:2яе)-.4,485; ф.2=(2я8)-.2;485; ф22= (2ne)--2,7i04; \Ги = = 132,1 Ом, lS/22 = 79,6 Ом; \Г,2= 143,7 Ом.

Случаю сплошного экрана соответствуют значения ф12=ф22, W,i = \ri2= = 120 Ом Значения волновых сопротивлений для различных типов фидеров, используемых на практике, даны в гл. 19.

2.3. Дифференциальные уравнения связанных линий

Для системы проводов, показанной на рис. 2.1, дифференциаль- ные уравнения, описывающие изменение напряжений Ui и U2, токов h и /г вдоль линии, имеют вид, аналогичный (1.1), (1.2). Рассмотрим бесконечно малый элемент линии dz. У поверхности провода 1 результирующее продольное электрическое поле, определя-мое изменением статическото напряжения dUi - {dVJdz)dz и полями, связанными с ЭДС самоиндукции -Lndz{dli/dt) и ЭДС взаимоиндукции -Li2dz{dl2ldt), должно равняться нулю. Поэтому

dt/i/dz = icoLu/i + icoli2/2. (2.23)

Аналогично для провода 2

dUJdz = i(oLiIi + i(oU2h- (2.24)

Чтобы найти изменение тока на элементе dz, продифференцируем (2.2) по времени. Заменяя у12 на -U12 и учитывая, что в соответствии с законом сохранения заряда drldt=-divl=-dlldz, получаем:

d/i/dz-i со t/j - i со Qat/a; (2.25)

d IJdz = - i co f/i -Ь i co c22 f/2. (2.26)

Уравнения (2.23) - (2.26) образуют полную систему дифференциальных уравнений, описывающую изменение едоль линии напряжений и токов. Эту систему можно записать в матричном виде:

i(oli2\ /f/Д

io)l2. 0

0 /

(2.27)

Решение (2.27) ищется в виде а ехр (72), где a={ai, 02, аз, 4}-вектор-столбец с неопределенными коэффициентами. Под-