вставляя это выражение в (2.27), получаем однородную систему линейных уравнений:

/аЛ /О\

(2.28)

- v / \aj

Условием существования ненулевого решения системы (2.28) является равенство нулю ее определителя. Соотвегствующее уравнение, называемое характеристическим, имеет вид Y+f со(L С + С -2+ (LaL ~L%) (с С -С\) = 0.

(2.29)

Это уравнение имеет четыре корня: 71, 72, -71. -У2. Два воз--можных знака 7 означают возможность распространения в линии как прямой, так и обратной волны. Наличие же двух различных значений 71=772 невозможно, поскольку, ак указывалось выше, любая волна, распространяющаяся в линии, является волной ТЕМ, фазовая скорость которой должна совпадать оо скоростью света. Ввиду этого

72=72 = -?=-(2яА)2. (2.30)

Каждое значение 7, определяет вектор-столбец а*, однако кратность корней характеристического уравнения приводит к тому, что лишь два уравнения в системе (2.28) являются независимыми. При этом любые два неизвестных, например ai< и аг, являются ттроизвольными, la оставшиеся однозначно выражаются через них. В частности, полагая а2 = 0, из третьего и четвертого уравнений (2.28) получаем-

ая =i со с а{77,; Если положить ап = 0, то:

= -1СоС,га{/уг.

а = -i<oci2a/7; а] = icoCgg аУс

Таким образом, кратному корню (2.29) соответствуют два независимых столбца, и общее решение (2.27) может быть записано в виде

/ 1 \ / О \ О I - \

+ al

Яде Wji определяются выражениями (2.5).

(2.31)

Каждый столбец в правой части (2.31) описывает определенный тип независимой волны, который может распространяться в линии. Так, первый столбец описывает волну, в которой f/2 = 0, h = UdWn, h =-Ui/Wi2, второй - волну, в которой t/i = 0, /,=

--U2IW12, /2=/2/22, третий и четвертый столбцы - обратные

волны аналогичной структуры. Возможны и другие структуры решения, например соответствующие /2=0 (022 = 0*122/12) или /1 = 0 {a2 = a\Wi2/Wu). Любое возможное распределение токов и напряжений в линии является супврпоэицией четырех независимых волн - двух прямых и двух обратных - и определяется с точностью до четырех постоянных.

Как указывалось выше, в силу условия (2 30) погонные емкости н индуктивности оказываются взаимосвязанными Эта взаимосвязь может быть получена из рассмотрения различных частных случаев возбуждения линии. Пусть, например, /2=0 Выразим с помощью (2.26) t/j через Ui н подставим это выражение в (2 26) Решая полученное уравнение совместно с (2.23) по аналогии с (1 3) находим для этого частного случая

v2 = co2 L11 (Си -Cfj/Caa),

откуда следует первое из соотношений (2 4) Подставляя в (2 25) выражение Ui через U2 и решая его совместно с (2 24), получаем

7 = 0)2 (Си С22/С12-С12), откуда следует третье соотношение (2 4) Второе соотношение (2 4) выводится

Иногда в (2.31) удобнее заменить экспоненты тригонометрическими функциям1и:

Uj, = Icos р z -I- i Bi sin Р г;

t/2=4 cospz-l-iBa sinp2, /1 = (Bi/Wii - 62/12) cos p 2 -b i (11 - Л2/W12) sin p 2; /2 = {BJW-BjWi)cos p 2-b i (A,/W -A,/W,) sin p z. (2.32)

Эти соотношения были получены А. А. Пистолькорсом.

Константы в (2.31), (2.32) определяются либо граничными ус-ловиями, либо заданными напряжениями и токами в некоторое сечении линии. Пусть, например, при z=0 Ui = Ui°, U2 = U2°, /,=

Из (2.32) находим:

i = t/0; АЩ,

В, = /о + Г22 /2°)/( ?2-и W y,

Вг= ( ?п /?-- /§)/(?2-11 22). (2.33)

При этом

cospz

i sin Р 2/1,

V-isinpz/Wi

/иг\

\ljz

созРг -isinpz/Wia isinpz/W22

i sin P 2 irsinPz

i7-sinp2 \ ipaasinpz 0

COSP2 /

где pii = cLn; p22=cL22; r = cLi2

4/2 /г=0

(2.34)

2.4. Синф

e и противофазные волны

Анализ работы связанных линий во многих случаях облегчается, если в качестве независимых волн рассматривать синфазные и противофазные волны (используются также термины однотакт-.ная и противотактная волны и четный и нечетный типы колебаний). Следует различать синфазные и противофазные волны по напряжению и по току. Рассмотрим двухпроводную линию, показанную на рис. 2.1. Синфазной по напряжению волной в такой линии называется волна, в любом сечении которой напряжения на обоих проводах равны по величине ш 001впадают по фазе. При этом томи в проводах в общем случае неодинаковы.

Противофазной по напряжению волной называется волна, в любом сечении которой напряжения на проводах равны по величине и противоположны по фазе. Токи в этом случае отличаются по величине.

Синфазные и противофазные волны по току определяются аналогично. В таких волнах напряжения на проводах в общем случае неодинаковы по величине.

Структура прямой синфазной по напряжению волны следует из (2.31), если положить в этом выражении a = aS = 0, ai = = a2 = t/c. В такой волне:

U=U,=U,; h = UAWn-Wuy, /2 = t/c(l/W22-l/Wi2).

(2.35)

В прямой противофазной по напряжению волне (а =а*2 = 0, ,> = -а22= ):

и,~и= 2U ; /1 = t/n (1 /Wii + l/tti2);

h = -UAW + W ). (2.36)

Зависимость от продольной координаты z в обоих случаях определяется множителем ехр (грг).

В обратных волнах токи меняют знаки, и зависимость от продольной координ:аты определяется множителем ехр (-ipz). Раз-