Электрические цепи на лилиях передачи, состоящие из соразмерных отрезков линий, описываются с помощью комплексной частотной переменной X-thyl. Характерной чертой для таких цепей является использование каскадно включаемых отрезков лин!ги, названных для краткости единичными элементами (ЕЭ) Основополагающей теоремой для цепей такого рода является теорема Ричардса Здесь предложено несколько типов преобразований цепей с единичными элементами, которые известны под названием тождеств Куроды .

Особенно в.зжными являются так называемые цепи нормального типа (кратко - нормальные) Кроме того, рассматривается синтез цепей стержневой структуры и древовидной структуры, т.е. цепей с параллел1 ными шлейфами. В качестве примера рассмотрена реализация составного звена Бруне (каскадного соединеия звена Бруне и еднничого элемента) петлей Икено. Показана также возможность параллельной реализации, однако в этом случае число элементов обычно превышает минимальное значение.

1.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ

X=t\\yt = a+i И - преобразованная частотная комплексная переменная; p = 0-f-ia) - комплексная частотная переменная; Т - время задержки в линии;

V - скорость распрсктранения ТЕМ-волн в линии; Zc - волновое сопротивление;

Zk3 - входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии; Zix - входное сопротивление разомкнутого отрезка линии, С, С, С), Сг, Сз - емкости;

L, 1з, Lp, Li, I2, Ls, М - собственные и взаимные индуктивности;

ЕЭ - единичный элемент;

F, Fo, F , Fb - матрицы пепедачи;

А{К), В{Х), С(Х), D{X)-элементы матрицы передачи;

Z(X), Y{X), W(X)-волновое сопротивление, проводимость и иммитанс соответственно;

S(X)-коэффициент отражения;

т, п - вещественные постоянные, целые,

Qo, - значения нулей передачи;

del F - определитель матрицы F;

X - (i, j)-u элемент матрицы X;

У и Уг, Уз, Ук - волновые проводимости линий в петле;

Ф - постоянная, в табл. 1.1;

!{Х), g{X) -вещественные полиномы;

V - число каскадно включенных единичных элементов; а{Х), Ь{Х), с{Х), d(X) - вещественные полиномы;

R - рациональная матрица; Ди - О минор;

Q{x, у) -квадратичная форма от х и у;

Р{Х), Q(Я.) - полиномы числителя и знаменателя четной части ЕуУ(Х),

Re , 1т X, Ev X, degX, Axg X - вещественная, мнимая и четная части, степень

н фаза X соответственно; k,j - вычет в полюсе функции w,j; W - четная или нечетнэя вещественная функция от X, ь 2, Vi, vz, и vi V - .етные вещественные полиномы oi X; (X) - полином Гурвица; I, - положительные целые числа; г -кратность полюса затухания в точке Х=<х>, п - степень функцнн нли матрицы, д - степень /(Я);

Zis - входное сопротивление цепи, короткозамкнутой на выходе,

-макс - .максимальная индуктивность, которая может быть выделена из цепи.

Ok - вычет функции У в полюсе X = iQh;

/(), Г(Х) -аддитивные составляющие функции f(X);

а, Ь, с, L2, 6i, 62, Oi, 02 - вещественные постоянные, бй - полюс или н>ль функции,

б, - полюс У12. (>.) = (1-Х2)-/2

1.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ НА ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ

Методы расчета цепей на линиях передачи можно разделить на две группы: первая группа объединяет методы, независимые от методов синтеза цепей на сосредоточенных элементах, методы второй группы заимствуют технику синтеза этих цепей. В принципе, первая группа могла бы быть более общей, чем вторая, на методы которой должны быть наложены некоторые ограничения на структуру или свойства цепей на линиях передачи. Однако методы, относящиеся к первой группе, пока еще в большей мере служат для целей анализа, чем синтеза.

Раосмотри.м отрезок неоднородной линии, используемой в качестве согласующего звена. Два хорошо известных типа такого звена показаны на рис. 1.1.

Расчет экспоненциальной линии не опирается на методы синтеза цепей с сосредоточенными элементами. Кроме того, экспоненциальная функция является только одним из возможных примеров функции из класса допустимых функций для Zo(x); для определения оптимальной функции необходимо математическое обоснование. С другой стороны, ступенчатую линию можно рассчитать на основе вносимого затухания точно, если отрезки линии имеют равную длину.

Большинство методов, описанных здесь, относится ко второй группе. Чтобы к цепям на линиях передачи можно было применить такой же подход, как к схемам на сосредоточенных элементах, необходимо использовать одно из двух типов ограничений:

1) узко полосная аппроксимация. Ограничиваясь достаточно узкой полосой частот, можно избежать использования трансцендентных схемных функций. При этом цепь на линиях передачи, эквивалентная схеме с сосредоточенными параметрами, может быть получена простой заменой элементов:

2) соразмерные отрезки линий. Ограничиваясь соразмерными отрезками линий передачи, можно ввести такое частотное преобразование, которое даст возможность трансцендентные схемные функции цепи на отрезках линий заменить рациональными функциями новой частотной переменной.

Рис 1 1. Коаксиальные согласующие звенья- а) экспоненциальное; б) ступенчатое

Рис 1 2 Последовательные соединения: а) практически не реализуемое соединение двух коаксиальных линий; б) двойная коаксиальная линия

Так как цепи на линиях передачи используются на более высоких частотах, чем сосредоточенные цепи, паразитные элементы, такие как индуктивности вводов, краевые емкости и неоднородности в точках соединения линий, должны быть как можно меньше. Кроме того, следует избегать последовательных соединений, которые могут явиться причиной появления паразитных типов колебаний в линии. Например, на внешней поверхности незаземленного отрезка коаксиальной линии (рис. 1.2а) может появиться ток, который приведет к искажению характеристики цепи. Для реализации последовательных соединений можно использовать коаксиальные структуры с двойными экранами или многократно экранированные, но они могут привести к сложным конструкциям, не представляющим большого интереса. Эти обстоятельства приводят к тому, что для построения цепей на линиях передачи необходимо использовать соединительные четырехполюсники

1.3. ЦЕПИ РИЧАРДСА

Тангенсное частотное щеобразованке

Ричарде впервые ввел частотные преобразования для цепей, составленных из активных сопротивлений и соразмерных отрезков линий. Такие цепи названы цепями Ричардса. Рассмотрим отрезок линии без потерь длиной /. Входное сопротивление отрезка линии, замкнутого или разомкнутого на дальнем конце, равно:

(1.1)

> Здесь и далее вместо необходимого по смыслу термина цепь с двумя входами (two-port) для крагеости используется термин четырехполюсник .- Прим. перев.

соответственно. Здесь Zo - волновое сопротивление (вещественная положительная постоянная); у- постоянная распространения. Обозначив А, = th у, из ур-ний (1.1) получим:

-2 (1-2)

f Таким образом, если рассматривать X как независимую частот-

f ную переменную, то Zк будет представлять входное сопротивление для индуктивности L = Zo, а Zxx - входное сопротивление для емкости С= 1/Zo.

Активные сопротивления не зависят от частоты и не изменяются при частотных преобразованиях. Так/им образом, имеем три основных элемента L, С и \R, соответствующих преобразованной частотной переменной Они показаны на рис. 1.3. Кроме этих элементов, будут введены идеальные трансформаторы.

Рис 1 3 Три основных элемента, соответствующие частотной переменной %=ihyl

Zo.f

Преобразование к = 1\\\1 можно записать как

X = thyl = th{pl/v) = thpT, (1.3)

где V - фазовая скорость ТЕМ-волны в линии; Т- время задержки волны отрезком линии; р - исходная комплексная частота. Как Т, так и V - вещественные положительные постоянные.

Рис. 1.4 иллк>стрирует некоторые свойства К-р-преобразова-Н.ИЯ. Так как Я - периодическая функция от р с периодом in/T, т. е. ih{pT+m) =ihpT, то область, ограниченная двумя прямыми

Ш{15п/2Т

Рис. 1 4 Частотное преобразование A,=th рГ а) р плоскость, б) Л-плос-кость

Рис 1 5 График зависимости Q от

P-a±in/2T, содержит всю необходимую информацию о преобразовании. Четыре части этой области, отделенные друг от друга вещественной и мнимой осями, отображаются на четыре квадранта

плоскости к, как показано на рис. 1.4. Вещественная ось отображается на сегмент A,<i вещественной оси к, а две другие граничные линии отображаются на сегменты A,>i вещественной оси X. Мнимая ось плоскости р отображается на мнимую ось Я.

Поскольку >, можно разложить в ряд из элементарных дробей, являющихся рациональными реактансными функциями, то К обладает реактансными свойствами в конечной области р. Функция, которая обладает в любой конечной области р свойствами рациональных функций, называется трансцендентной мероморфной функцией р Исходя из этого, функция ihpT называется трансцендентной реактансной функцией, а преобразование X = thpT относится к типу реактансных.

Положим X = iQ, р = ш; тогда Q = tg<i)7 (рис. 1.5). Так как Q - периодическая функция (о, то характеристики цепей Ричардса являются периодическими, как показано на рис. 1.6. Это упрощает

Рис 1 6 Характеристика фильтра на соразмерных линиях передачи (в области частот Q и в области частот ш)

задачу расчета: расчет фильтров нижних частот в плоскости Q может быть также использован для расчета полоснопропускающих и полоснозаграждающих фильтров. Однако период повторения характеристик определяется значением Т, и расстояние между соседними полосами пропускания зависит только от средней частоты требуемой полосы пропускания.

Единичный элемент (ЕЭ)

В качестве соединительного четырехполюсника в цепях Ричардса используется отрезок линии передачи без потерь. Он назван единичным элементом (ЕЭ). Два способа представления ЕЭ показаны на рис. 1.7.

Рнс 1 7 Единичный элемент

* Здесь и далее вместо принятого в отечественной литературе для матрицы ABCD термина цепная матрица используется термин матрица передачи (как в оригинале) Не следует путать ее с волновой матрицей передачи 7 . - Прим перев

Матрицу передачи ЕЭ ) можно записать так:

А В С D

(1.4)

Элементы данной матрицы иррациональны. Иммитансные матрицы имеют вид:

(1.5)

Здесь Zi2 и Yi2 иррациональны и мнимы на вещественной оси, если Я,>1; это означает, что не все входные иммитансы цепей, содержащих единичные элементы, являются вещественными функциями К. Например, квадратичная форма, соответствующая матрице проводимости короткого замыкания, имеет вид:

Q(X, у) = Y,U -2ху{1- kf + У],

(1.6)

где X и г/- вещественные переменные. Функция (1.6) не является вещественной, кроме случаев, когда x=0 или у = 0; она может рассматриваться здесь как входная проводимость петли из четырехполюсника, подключенного через идеальные трансформаторы с коэффициентами трансформации х и у. Особый случай х = у=1 приводит к схеме, показанной на рис. 1.8.

Рис 1 8 Петля, образованная единичным элементом

Рис 1 9 Петлевое соединение трех единичных элементов, при водящее к двухполюснику, не являющемуся нормальным

Петлевое соединение нечетного числа единичных элементов имеет невещественные входные иммитансы, как показано Икено [2], а также Уолшем и Ку [3] (рис. 1.9). Цепи, каждая петля которых включает четное число единичных элементов, Икено назвал нормальными* Их входные сопротивления являются рациональными положительными, вещественными функциями л. Здесь будут рассмотрены только нормальные цепи.