1Г=У+1 К -комплексная переменная, связанная с К выражением (3.41);

т., Ть - постоянные;

р - плотиость поверхностного заряда;

<7. Q, Qr -заряды;

q{k) - О-фуккцня;

<7=cthe;

e = a+i p=Arcthg; 9i - составляющие 9;

X, у - комплексные переменные, определяемые равечствамн (3.61), (3.66); W, w - функции хну соответственно; In - единичая матрица размера пХп;

Л, А - комплексные сопряженные скаляра А и матрицы А соответственно; А- транспонированная матрица А; Ао(Х)=А(-X); Arg = угол А; т, п - целые;

т, - вещественная постоянная.

3.2. ОПРЩЕЛЕНИЕ ¥(Х) ПО ВНОСИМОМУ ЗАТУХАНИЮ

Р./Р= 1/(1-1S

(3.8)

Норма/гьмый реактидныи четыреАпалжних

Большинство фильтров, особенно фильтров СВЧ, включаются между резистивным генератором и резистивной нагрузкой. Сопротивление генератора и оопрошивлеяие налрузки предполагается равиым 1 Ом. Если четырехполюсник, локазаиный на Рнс. 3.1. Схема для вы- рис. 3.1, не имеет активных потерь, то, в со-вода выражения коэффи- ответствии С законом сохранения Энергии, с /яТТопротТвле: действующая мощность, входящая в четы-ння генератора и наг- рехполюсиик Слева, передается в напрузку рузкн равны 1 Ом) И ратееивается в ней. Следовательно,

= Re (- 7,) = Re Л, Я = i Q, (3.1)

где черточка над величинами означает их комплексную сопряженность. Максимальная мощность, которую можно получить от генератора, равна

Po = lir/4 = if/i-f ;,V4, X = \£l, а вносимое затухание равно

1= 101g(P /PJ. Выражение (3.1) можно переписать в виде

Pl = Wx + i) + h) - (и, - Q (и, -1,)]/A. Деля обе стороны этого равенства на Pq, имеем:

PJP, =\1-{и,- I,)I{U, -Ь /i) \\Х\ Q. Поскольку коэффициент отражения на первой паре зажимов равен S = (Z - 1)/(Z -Ы) = {U, - I,)I{U, + Л), (3.6)

(3.2) (3.3)

(3.4) (3.5)

\Sf = SS S{iQ)S{-iQ) = I -{PjPo), 72

(3.7).

Следовательно, PqIPl представляет собой четную вещественную рациональную функцию Q, которая не может быть меньше единицы. Поэтому можно записать

PJP=l + [M{Q)lNm (3.9)

где М и N - суть вещественные полиномы от а M/N неотрицательно для всех вещественных значений Q. Полагая, что М и N не имеют общих множителей, можно придти к выводу, что обе эти величины неотрицательны. После подстановки (3.9) в (3.7) получаем:

S (i Q) S (- i Q) = М {ОЩМ (Q) + N (£?)], (3.10)

где в соответствии со сделанным выше предположением M{Q) + + N{Q) положительна для всех вещественных значений Q. Заменяя Q2 на -Л2, получим

S {%) S{-X)==M{- к)1[М (- X) + N{- Х% (3.11)

Это выражение на мнимой оси совпадает с (3.10). Числитель и знаменатель правой части представляют собой вещественные четные полиномы от л; M(-Л) имеют только нули четного порядка на мнимой оси, а М (-Х) + N{-Х) не имеет нулей в этой области. Эти полиномы можно представить в виде разложения на множители

M{-X) = hiX)h{-X),

M{-X) + N{-X = g{X)gi-X), (3.12)

где h{X) - вещественный полином от X, а g{X) - полином Гурвица. Тогда

S{X) = hiX)lgiX) (3.13)

удовлетворяет всем условиям, сформулированным в гл. 1. Следовательно, можно записать:

Z (Х) = [g {X) + h iX)]llg (X) - h (X)]. (3.14)

где Z{X) - положительная вещественная функция.

Нужно доказать, что указанное выше разложение на множители всегда возможно. Поскольку как М{-Х), так и М{-Х) + 4.iJV(-Л), суть вещественные четные полиномы X, их множители образуют такие группы, что

(Я + X,) (Х + Q {Х - Xt) (X - Х, л/2 > Arg Xi > О, - {X + aj){X - a,), ai>0, (X+Qlf, Й*>0. где а и Q -суть вещественная и мнимая части X соответственно. Кратность два для последнего множителя обусловлена неотрицательностью М(-Я*) на мнимой оси. Знак в каждом случае выбирается из условия неотрицательности на мнимой оси. Следова-

тельно, постоянный множитель, обусловленный коэффициентом при члене с высшей степенью данного полинома, также положителен. Каждую из указанных выше групп множителей можно разбить на две части, а именно:

1. (Я + Л,) (Я + Х,).

2. (Я + а,). -Q-Oj).

где каждый множитель слева равен соответствующему множителю справа при замене в первом К на -Л, и наоборот.

Относя один из множителей с одной стороны каждой из групп к h{X), а другой -к h{-X), можно разбить М(- h{-К). Упомянутый выше постоянный множитель делится между /г(Я) и h{-К) извлечением квадратного корня. Поскольку gCk) представляет собой полином Гурвица, то к g{X) могут быть отнесены только те из нулей, которые лежат в левой полуплоскости. Так как нулей на мнимой оси нет, то полученная таким образом g{K) будет представлять собой полином Гурвица. Следовательно, g{X) определяется однозначно, а h(X) - неоднозначно

Следует отметить, что всегда можно изменить 5(Я) таким образом, что

S (Я) =- S (Я) Я (- Я)/Я (Я), (3.15)

где Я(Я) представляет собой любой полином Гурвица. При Я(Я) = = (1+Я) это эквивалентно введению п единичных элементов между генератором и входом. Коэффициент отражения

S (Я) = [{и, - ы,) + Я - vMiUi + U2) + X {V, + v,)l (3.16)

так что из (35) следует

= 1 +

(3.17)

Следовательно, обращаясь к (1 33), можно видеть, что преобразование Y{X), описанное в гл. 1, эквивалентно умножению как М(-Я2), так и iN{-K) на ы2-Я2у2=Я(Я)Я(-Я). На практике N(-Я2) выбирается так, как это представлено в (1.54), так что фильтр может состоять из минимально возможного числа элементов. Кроме того, M(-Я) тоже выбирается как квадрат четного или нечетного полинома, так что максимальное число нулей М(Я2), т. е. частот идеальной передачи, лежит на мнимой оси. Таким образом, (3.17) показывает, что либо Ui = M2, либо Vi = V2 и получающаяся цепь будет либо симметричной, либо антиметрич-ной, как это можно заключить из (1.37) и (1.38). Таким образом, коэффициент передачи мощности можно записать в виде

PJP=l+8W{k)Wi~k),

(3.18)

где б- положительная константа, которую можно использовать как масштабный множитель характеристики затухания, а {К) - функция, именуемая обычно характеристической функцией.

3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ S ПО ВНОСИМОМУ ЗАТУХАНИЮ

Поскольку характеристики фильтра находятся в тесной зависимости от матрицы S, рассмотрим способ ее получения непосредственно из выражения функции вносимого затухания.

Параметры рассеяния определяются в соответствии с рис.

3 2:

а = (U + 1)/2, b = (U -1)/2.

(3.19)

Нормальный peohiTiuStibiu четь ретожнт

Лопо iHeHHW четыремалюсни<

Рис. 3 2. Схема для определения S-матрицы (сопротивления генератора \-=\U, \ = (3.20) и нагрузки равны 1 Ом)

Штрих в данном случае означает транспонирование матрицы. Вектор падающей волны связан с ЭДС генератора зависимостью.

а = Е/2, Е = \ЕЕ\. Для матрицы S имеем выражение вида.

b = Sa.

(3.21) (3.22)

Вид S можно определить из рассмотрения дополненного четырехполюсника yVa, представленного на рис. 3.2. Поскольку матрица I одинакова для N w. Na,

I = Y.E.

Подстановка (3.19) и (3.21) в это равенство дает

b = (b-2Y ) а.

где 1а обозначает единичную матрицу размера 2X2. Следовательно,

S= 1, -2Y.

(3.23)

Основные ограничения, налагаемые на матрицу S пассивной цепи, выводятся из условия сохранения энергии:

Р = Ret/i/i + Ret/j/g = аа -bb > О, Я = iQ P = a(l3-SS)a>0, X = \Q.

(3.24)

в случае четырехполюсника без потерь знак равенства в приведенных выражениях выдерживается для любого а. Таким образом,

SS= I2, K = IQ.

(3.25)

Пусть четырехполюсник /V - нормальная реактивная цепь, такая, как описано в гл. 1.

Тогда четырехполюсник Na также будет нормальным. Следовательно, в соответствии с (3.23), диагональные элементы Su и S22 матрицы S суть вещественные рациональные функции X, в то> время, как Si2(=S2i) представляет собой произведение вещественной рациональной функции Л и (1-Л)/. Следовательно, Sij(iQ) совпадает с S,v,(-Л) на мнимой оси, и (3.25) можно распространить на всю плоскость X при условии замены Sjj(iQ) на 5 (Л) и Sij{iQ) на Sij{-X). Вводя обозначение Л) =5г ,.(Л) и за-

меняя Sij на Sjj., из (3.25) получаем уравнения:

22522, -f S12.S12* = 1 Sii5i2, -f- S12S22* = 0

(3.26)

которые имеют силу на всей плоскости X и совпадают с (3.25) на мнимой оси. Первые два из выражений (3.26) показывают, что расположение S,j ограничено мнимой осью. Все особенности 5, суть полюсы, за исключением точек Х=±1. Далее, регулярность Yij в (3.23) в правой Л-полуплоскости и ограниченность Sij мнимой осью убеждают в том, что Sij представляют собой аналитические функции в правой Л-полуплоскости, включая мнимую ось, за исключением Sj2 в точках Х=\. Заметим теперь, что S12S12. можно определить из отношения Рь/Ро при замене Q2 на -Х. Следовательно,

5i25,2. = (- (- Г) + N{~ Х% 5п5 . = 52222. = М (- Х/[М (- Х) + N{- Х)]. Предположим теперь, что

Ni-X) = ±{l-X)P{X), (3.27)

где f{X)-четная или нечетная функция X, причем знак + соответствует случают четности, а знак - - нечетности. При преобразовании числителя и знаменателя в соответствии с изложенным в предыдущем разделе способом, это предположение можно удовлетворить, не нарушая общности рассуждений. Разлагая на множители таким способом, как это было описано, имеем:

SlAu =522522. = М, Igg, . Si2S,2. =±(l-V/()/gg. 76

Следовательно, (3.26) будет удовлетворяться при следующем выборе параметров:

5п = hig, S22 = h, Ig, I

где верхний знак у S22 берется при / четном и нижний - при / нечетном. Знак квадратного корня в выражении для Sn может быть положительным или отрицательным. Преобразование, подобное тому, которое было описано в гл. 1, применительно к случаю Y{X), в данном случае также возможно. Умножение Si25i2. на множитель (RR.)\ где R-= {\ + Х)Н{X) (Я(Л) - полином Гурвица, п - положительное целое или нуль), дает:

Su-{hlg){PJP) ]

S,2-4ihJg){QJQ) . (3.29)

s =={i-xr ifs)iR, /R).

Здесь R = PQ. a P и Q - полиномы Гурвица. Здесь общий множитель удален из числителя и знаменателя обеих параметров. Общие множители, возникшие в результате добавления нулей N{-X) нечетного порядка, по-прежнему содержатся в неявном виде в выражениях (3.28) и (3.29). Теперь видно, что описанное преобразование Y{X) соответствует случаю Р=\ в приведенном выше равенстве и что преобразование S(X) приводит к преобразованию не только Si2, но и S22 за исключением случая, когда PR.

3.4. АППРОКСИМАЦИЯ РЯДАМИ ФУРЬЕ

Пусть

Р /Р l+8W{X)W{-X) (3.30)

и пусть [Чо! представляет собой функцию частоты, которую нужно аппроксимировать функцией 4(i Q)4(-i Q) = Для

получения возможности применения аппарата рядов Фурье вся ось Q(-oo<Q<oo) посредством преобразования [1]

Q=tg(#/2) (3.31)

сводится в интервал -п<#<п. Умножив Чо на соответствующим образом выбранную вещественную четную рациональную функцию Q2, которую можно записать в виде No{)/Mo{Q), можно разложить полученную функцию таким образом

(yVo/4lo) = ao + a,cos-&+ . .+a cosd+ (3.32)

Ограничиваясь первыми п членами и умножая на Mo/No, найдем аппроксимирующую функцию

I ¥ р = (MJN,) (ао + а, cos д + . + а cos п д). (3.33)

В то же время, используя (3.31), можно получить следующее выражение: