откуда

(3.34)

(3.35)

где G(Q2) -вещественный полином от Q2 степени п. Хотя не существует гарантии неотрицательности G{Q), эту величину можно сделать неотрицательной, соответствующим образом увеличив ао. Выбор Mo/No определяется интуицией проектировщика. Выбор первых п членов разложения Фурье означает, что аппроксимация среднеквадратичная. Для этой же цели можно использовать не только тригонометрические, но и другие ортогональные функции.

3.5. АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ АНАЛОГИИ

Решение задач аппроксимации методом потенциальной аналогии для фильтров с сосредоточенными постоянными хорошо известно. К фильтрам на отрезках линий передачи оно впервые было применено Ишии и Озаки [2,3]. Поскольку в (3.18) {X)W{-X) представляет собой рациональную функцию X, то эту функцию можно записать в виде:

Y (Я) Y (- Я) = П (Я - Kj) /[(I - Х?У П (Я - ki). (3.36)

Беря натуральный логарифм обеих частей равенства, получим:

1п[Ч(Я)Ч(-Я)] = 21п(Я -Я)-21п (Я -Я;) -vIn(X- I) -

- V In (Я -f 1) -f const. (3.37)

В то же время комплексный потенциал плоского поля, обусловленный зарядом q, находящимся в точке к = ки равен

1{1) = - {ql2m) In (Я - %i) + const. (3.38)

Множитель 2пео для удобства можно опустить. Тогда (3.37) можно трактовать, как функцию потенциала, обусловленного единичными отрицательными зарядами в точках K = Kj(i=\,2, ...), единичными положительными зарядами в точках = i(= 1, 2,...) и положительными зарядами величиной v единиц в точках Я=±1. Поскольку Ч (Я)Ч (-к) функция рациональная, количество нулей и полюсов одинаково, количество положительных и отрицательных зарядов, включая заряд, находящийся в бесконечности, одинаково, общий заряд равен нулю.

Далее будет рассматриваться случай расчета фильтра нижних частот с частотой среза Qc=l. Распределение потенциала на мнимой оси, представленное на рис. 3.4, можно реализовать, поместив проводники а и а в областях Q и проводник b - в области fi<Qi; при этом заряды проводников должны быть равны Qa = Qo->0 и Qb<0 соответственно, как это показано на рис. 3.3.

Кроме того, в точках %= ± 1 помещаются заряды Q±i=v. За исключением зарядов, размещаемых в точках Я=±1, все делается так же, как и для цепей с распределенными параметрами. Поскольку общий заряд должен быть равен нулю,

2Qa + Qb + 2x = 0. (3.39)

Следовательно, Qb должно быть четным.

Рис. 3.3. Идеальное потенциальное поле фильтра нижних частот

Предположим, что комплексный потенциал для рис. 3.3 определяется выражением ЦХ) = Ф(Я)-Ь 1Ч(Я), (3.40)

Рис. 3.4. Распределение потенциала на мнимой оси

где <р(Л) - скалярный потенциал, а Ч(Я) - функция потока. Плотность потока на поверхности проводника равна D = ~d(f>/ds = 2np, где d(f>Jds - производная в тангенциальном направлении при условии, что проводник находится слева, ар - плотность заряда на поверхности проводника. Множитель 2л возникает в связи с тем, что в (3.38) опускается 2яео. Общий поток, исходящий из точечного заряда q, следовательно, равен N=2nq. Затем, сосредотачивая распределенные заряды на поверхности проводников (рис. 3.3) в тех точках, где ф уменьшается на 2n, заменим эти заряды точечными зарядами по две единицы. Величина 2 обусловлена тем фактом, что поверхностные заряды лежат на обеих сторонах проводников. Эта процедура именуется квантизацией . В результате квантизации потенциал вдоль мнимой оси флуктуирует; однако результат хорошо совпадает с исходным идеальным распределением потенциала, представленным на рис. 3.4.

Вычисление (Я) на плоскости Я неудобно из-за неточности. Поэтому плоскость Я преобразуется в плоскость W с использованием соотношений:

Я-Лзп(А7, *)/сп(й7, к), W = U + [V, X = a + [Q,

livLl w cnf,/:J суть эллиптические функции Якоби с модулем k (предполагается, что S2,Q2=1). Соотношения между параметрами следующие:

[(1 (1 - 22)]

[(1-Л-а)(1 ()2 2]

4 iv

(3.42)

Рис. 3 5. Я=Лзп(

Преобразование

?,(W) = -vln fl

цри этом вся плоскость я отображается на области (±/С, ±К), как это показано на рис. 3.5. Из рис. 3.5 видно, что область плоскости W, ограниченная двумя вертикальными линиями L/ = О и [/ = К, полностью экранируется двумя проводниками а v. Ь.

В этой области заряд Q+i = v, соответствующий заряду в точке Я = 1, помещен в каждой из точек W = {ki2) + + щК (р = 0, ±1, ±2, ...). Потенциал цри этом можно представить как

sin (w--K + i2nK)nJ2K --2-1- 3 3

д=-oo sin

где множитель при каждом р соответствует потенциалу в точке

W=-K+\\iK и всем отображениям этого заряда. Поскольку 2

потенциал, обусловленный каждым зарядом, быстро убывает в направлении i р в соответствии с конфигурацией проводников, хорошая аппроксимация получается, если взять всего три заряда р точках 11=+ 1, О и -1. В таком случае, беря мнимую часть приведенного выше выражения, имеем для функции потока на правой поверхности проводника Ь:

{U) = 2v (arctg [th (Jt UI2K)] + arctg {th [я {U - 2K)/2K]} -r

+ arctg {th [n {U + 2КУ2К]}) + B, (3.44)

где В - произвольная постоянная, определяемая из условия г(0)=0- Часть заряда Qb, обусловленная взаимодействием между проводниками, распределяется в соответствии с их конфигурацией. Плотность потока с правой стороны проводника

4,(t/) = 4g({;) + T,(/. 80

(3.45)

гдетьб представляет собой поток, обусловленный взаимодействием проводников, ть - постоянная. Правая поверхность проводника b между О и i К соответствует поверхности того же проводника, обращенной к первому квадранту плоскости Я, где распределен чистый заряд Qb/4. Следовательно, имеем выражение

Ъ (К) = {К) + т, К = - я Qb/2,

из которого можно определить тб.

Подобным же образом плотность потока на левой поверхности проводника а равна

WAO)= - W,{U) + XaU, (3.46)

где То определяется из выражения

Зная Wa и Wb, легко квантовать заряды. Возвращаясь от U к можно определить нули и полюсы Ф(Я)Ф(-Я). Расположение зарядов не должно определяться с очень большой точностью, поскольку само квантование представляет собой приближение. Однако симметрия расположения зарядов показывает, что заряды должны размещаться в точках, где принимает значения, четно-кратные я (включая 0), еслиQb нечетно, и нечетнократные я,

когдаQb- четное. Го же справедливо и для Wa и Qa. Следовательно, когда-Qb и Qa нечетны, в точках Я=0 и л = оо должны

размещаться двойные заряды. При этом выполняются соответственно необходимое и достаточное условия физической осуществимости, как это видно из гл. 1,

3.6. АППРОКСИМАЦИЯ Q-ФУНКЦИЯМИ

Метод опорного фильтра Дарлингтона применим и к фильтрам на отрезках линий передачи [4]. Пусть коэффициент передачи мощности

Рц/Р = 1+6ch20, (3.47)

0 = a + ip = Arcthcг(Я), (3.48)

где (Я) - Q-функция, введенная Кауэром [5]. При этом: 1) (Я) регулярна при РеЯ>0; 2) Ре(Я)>0 при РеЯ>0; 3) ве-

щественная рациональная функция Я.

Из последнего вытекает возможность представления q{X) в виде /(А-) ={да(Я)]/2, где ш(Я)-рациональная функция Я. Следовательно, (Я) - функция двузначная, за исключением тех случаев, когда [ш(Я)]/2 раскладывается на две независимые функции. С этой точки зрения, пп. 1, 2 следует относить к одной из ветвей qiX), и для этой ветви q{l)-положительная вещественная функция. Значения (Я) на мнимой оси будут определяться как продолже-

ние этой положительной вещественной ветви. Особые точки qCk) представляют собой полюсы и точки разветвления, лежащие только на мнимой оси; нули также лежат на мнимой оси. Более того, из п. 3 вытекает, что функция q{X) либо вещественна, либо мнима на мнимой оси X. Принимая во внимание, что q{X) - положительная функция, и ее значения на мнимой оси берутся как продолжение правой полуплоскости, q{X) положительна на той части мнимой оси, где она вещественна и не имеет там ни нулей, ни полюсов и ведет себя как реактивность, т.е. dq{X)id{X)>0 в той части мнимой оси, где эта функция мнима. Тогда из (3.48) имеем для мнимой оси

6 = а -f in л/2 (а> О, п - целое), когда q вещественна]

6 -ip и dp(Q)/dQ>0, когда q мнима. Перепишем теперь (3.47) в виде

(3.49)

= 1+6

cth9 cth2 0- 1

= 1+6-

(3.50)

cf{X)-\

отсюда видно, что .fo/Pi. - вещественная рациональная функция Я.

Поскольку для X=iQ Po/Pil, q{X), если эта функция вещественна, не должна при этом условии быть меньше единицы. Следовательно,

9 = а + i пя,

(3.51)

когда q вещественна.

В точках, где (Я) =cth9= 1, имеют место полюсы затухания. В области, где q{X) мнима, ch2ip = cos2p колеблется между нулем и единицей. Следовательно, эту область нужно взять за полосу пропускания, характеристика передачи в которой будет чебы-шевского типа. Это упрощает определение q{X), поскольку проектировщик может сосредоточить свои усилия на определении характеристики затухания. Данную задачу можно решить разложением 0 в ряд вида

0 = 01 + 02 + . . .

который эквивалентен ряду

cth 9 - 1 cth 01 - 1 cth 02 - 1

cth Э - 1

(3.52)

(3.53)

cth Э + 1 cth 01 -t- 1 cth 02 + 1 cth 0 + 1

где x = cth0i - Q-функция низшего класса, имеющая те же вещественные и мнимые области, что и cth 9 на мнимой оси. [Класс Q-функции определяется как половина степени q{X).] Функция <7 = cth0 также представляет собой Q-функцию. Заметим, что каждый множитель в числителе или знаменателе (3.53) записывается в том же виде, что и коэффициент отражения.

В случае фильтров нижних частот Q-функция первого класса имеет вид

qt (X) = cihQi = miX/{Ql + %y/

(3.54)

где Qc - частота среза, - вещественная постоянная. Частоту среза в данном случае нельзя с помощью нормирования сделать равной единице, поскольку точка Я,= ±1 в результате нормирования также сместилась бы. Из последнего соотношения имеем:

0,= Archlm; (Й/Й,)/[1 - (1-т?) {Q/QfV - (3-55)

Полюс затухания получается из условия: cth0i=l, т. е.

X = ±Q,/(mf-l)>/2. (3.56)

Величина Хас вещественна или мнима, в зависимости от т,!. Полагая /Пг=1 или Шг- {\ -\-Qc), имеем

0 = Arch(Q/Q,), 0 , = Arch [(Й/Йе) (1 + ЩУ (1 +

(3.57) (3.58)

Goo имеет полюс затухания при Х=оо, а 0(i) -при Х=±\.

Видно, что когда т,<1, ,(Л)<1 в области йсо< й <оо(йсо = = Wi); таким образом, р, = я/2. Следовательно, в силу требований (3.51), необходимо брать четное число таких 0i для различных величин rui. Таким образом.

= 1 +6ch

S2Arch----[Q2-(l-m2)Q]/2

+ г Arch - 1 + V Arch

(3.59)

Выбор тпи V я г можно сделать таким же способом, как в случае сложного фильтра Зобеля, поскольку характеристики затухания определяются суммой at = Re0t.

Для того чтобы обеспечить идеальную передачу при X=Q, достаточно принять 0 = i(2n+l)-; при этом r + v -нечетно. Получающаяся таким путем цепь симметрична. Если r + v четно, то ch2 0=l при Х=0 и становится необходимым сдвинуть нули затухания, находящиеся вблизи Я, = 0, точно в точку Х = 0 с тем, чтобы иметь нуль в этой точке. Такое преобразование известно и для цепей с сосредоточенными параметрами. Оно применимо и в данном случае, однако для того чтобы зафиксировать положение точки Х=\, граничную частоту необходимо несколько сдвинуть.

Когда в (3.59) .т = 0, оно соответствует древовидному четырехполюснику, имеющему только простые разомкнутые на концах шлейфы. Когда т = г = 0, имеет место брусообразный четырехполюсник. Эти два случая были предложены Икено [6] в развитие полиномов Чебышева.