Выражение (3.59) приводится к чебышевскому полиному, если m = v = 0. Икено показал также, что баттервортовская характеристика в полосе пропускания имеет место при

Ро/Р = 1+6[Q /(1+Qr],

где n = v соответствует брусообразным четырехполюсникам, а n>v - четырехполюсникам с простыми разомкнутыми на концах шлейфами. Баттервортовскую характеристику в полосе пропускания можно получить для случая, когда полюсы затухания расположены на конечных частотах, из выражения

Ро/Я = 1+бПсН0

Фильтры верхних частот можно получить с помощью частотного преобразования, сводящегося к замене Q и Qc на 1/Q и 1/Qc соответственно. Полоснопропускающие фильтры получаются с помощью преобразования

cth 0, = mt [Q2, + X) j (Q2 + >?)\u2 , (3.60)

где Qc2 и Qci - верхняя и нижняя граничные частоты соответственно. Эта функция обладает полюсами затухания при Яоо = 0, оо и ±1, когда m, = Qc2/Qci, 1 и [(Qa+l) (Qci+l)]/ соответственно. Поскольку cth 9г в нижней полосе задерживания в данном случае меньше единицы, имеем р = л/2. Следовательно, число таких функций должно быть четным. Если т,>йс2 или m,<l, cth 9 может сделаться равным единице, и полюс затухания появится на конечной частоте. Поскольку р в этой точке уменьшается на я/2, каждый из этих типов Ot должен участвовагь четное число раз.

Для вычисления результирующей характеристической функции проще использовать выражение (3.53), а не (3.59). Поэтому целесообразно упростить выражение (3.59). Положим

{Ql + Xyn (3.61)

Это преобразование превращает полосу пропускания Qc>>0 в отрицательную мнимую ось плоскости х, а полосузадерживания Qc<Q<oo в отрезок 0<;с<1 вещественной оси плоскости х.

Полюс затухания Лоо соответствует x, = m,. Таким образом,

= ехр 2 0j = (cth 0i + l)/(cth 9; - 1) = (x; + x)l {x - x), и выражение (3.59) приводится к виду:

26 q

w = е -

- х] \ха - х

дг, +Д-

(3.62)

X, ~-~ (Qi - QlY 1, х = (1 + Qiiy Тогда коэффициент передачи мощности выразится в виде

o/Pl= 1 +S[(1 +t)V4t]. (3.63)

3.7. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ АНАЛОГИЕЙ И СУНКЦИЕЙ

Преобразование (3.61) представлено на рис. 3.6. Полоса пропускания преобразуется в мнимую ось плоскости х, а полоса задерживания-в интервал -lxl вещественной оси. Точки.

-о-ооооо-

Ось бещеткнных значении х

Рнс 3 6 Эквивалентный потенциал для Q-функции: а) плоскость х\ б) плоскость X с измененным расположением зарядов, в) плоскость к

К=±\ соответствуют точкам х= ±хо= ± {l + Qc)- Будем теперь, рассматривать \ogw в выражении (3.62) как комплексный потенциал. Тогда заряды на вещественной положительной оси равны двум единицам в точках, соответствующих значениям x = x{i = = 1, 2, m), г единицам в точке х=\ и v единицам при х = хо. Заряды на отрицательной вещественной полуоси имеют ту же величину, но противоположный знак. Следовательно, на мнимой оси потенциал равен нулю, и функция потока монотонно возрастает.

В силу того что потенциал на мнимой оси равен нулю, на ней можно разместить проводник, не изменив картину поля. Поскольку плоскость будет разделена проводником, поле в правой полуплоскости не изменится, если все заряды на отрицательной вещественной полуоси заменить положительными. Полученное таким путем расположение зарядов представлено на рис. 3 66, а соответствующее расположение зарядов на плоскости - на рис. З.бв.

Теперь квантизируем заряды, наведенные на поверхности проводника, т. е. заменим их точечными зарядами, величиной две единицы, расположенными в тех точках, где lm(\ogw) =2 увеличивается на 2л (заметим, что заряды отрицательны). Поскольку x=Q соответствует Qr, то в этой точке не должно быть никакого заряда. Так как при х = 0 w=\ и 2р = 0, заряды будут располагаться в точках, где 2р= ± (2р-1)я, р= 1, 2 п

Беря мнимую часть log а , получаем

arctg

1 X,

г arc tg

V arctg

=-(2(х-1), (3.64>

где X - мнимая величина. Решая это уравнение относительно х,

можно определить точки размещения зарядов. Поскольку

ch i(2-1) X -=0, эти точки совпадут с нулями затухания, полу-

ченными описанным в предыдущем разделе методом. Эти соображения будут использованы при построении метода последовательных аппроксимаций в следующем разделе.

Пусть конечные корни ур-ния (3.64) будут: хои Хо2,Хш; тогда

(3.65)

3.8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ

Используя метод Q-функций, можно получить характеристические функции с чебышевским поведением в полосе пропускания в том случае, когда полюсы затухания известны. Икено [6] предложил метод последовательной аппроксимации (который можно рассматривать как развитие метода Беннета [7]) для получения чебышевской характеристики и в полосе пропускания, и в полосе задерживания. Отправной точкой при этом служит характеристическая функция, найденная методом Q-функций.

Предположим, что 12 -функция низкочастотного типа с чебышевским поведением в полосе пропускания, полюсы затухания которой расположены произвольно. Тогда l/jFip можно рассматривать как функцию высокочастотного типа, сопряженную с (4i(2 в том смысле, что полоса пропускания одной из них в точности соответствует полосе задерживания другой, и наоборот. Поскольку 4i2 обеспечивает чебышевскую характеристику в полосе пропускания, даст ту же характеристику в полосе задерживания. Если возможно получить функцию \2\ высокочастотного типа, имеющую полюсы затухания, идентичные полюсам функции с чебышевским поведением в полосе пропускания, то функция Ч2р может обеспечить характеристику чебы-шевского типа как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, а 1/Ч2 будет функцией низкочастотного типа с такими же характеристиками. Беря полюсы затухания функции 1/Ч2 в качестве второго приближения в процессе определения расположения полюсов, можно продолжать этот процесс. В случае цепей с отрезками линий передачи второй этап, а именно определение (Ч2 заключает в себе определенные трудности, поскольку полюсы при Я=±1 становятся нулями и, следовательно, метод Q-функций неприменим. Учитывая это, Икено предложил метод потенциальной аналогии, описываемой ниже.

Пусть определяется выражением (3.62) при г=0 или

г=1, тогда нули в полосе пропускания Хои х., Дот- можно получить с помощью (3.64). Введем преобразование

I/ = (Я -f Q2)>/2 /Q = ({[ 1 -(Q,/Q,) J-)l(\-;c2))l/2 (3.66)

где через Qi и Q2 обозначены верхняя и нижняя границы полосы пропускания и полосы задерживания соответственно. Это преобразование соответствует преобразованию (3.61), где Qc замененс на Й1, а Я -на Й1Й2/Я. Распределение зарядов показано на рис. 3.7. Как видно, оно имеет тот же характер, что и распреде-

-о-о-о-

Рис. 3.7. Диаграмма для определения (плоскость у)

Ось ЬещптЬенных значений

Плоскость у

ление, данное на рис. 3.6а, за исключением того, что заряды в точках x= ±Xo на рис. 3.6а заменены зарядами противоположногс знака в точках у=±уо на рис. 3.7. Следовательно, получена потенциальная функция, удобная для определения 2р как Inw:

W = [(1 + t/)/(l - y)f[{yo - У)/{Уо + y)f П [{Уо I + У)1{Уо, - yw

где г либо 1, либо О, в зависимости от того, имеется ли нуль выражения (3.64) в точках х=оо; уои ут, уот- означают величины, соответствующие Хоь хо2, хот- так же, как уо соответствует хо. Поступая таким же способом, как и в предыдущем разделе можно определить расположение зарядов:

S Ш + (т) - Ш~т

(3.67)

где 1= 1, 2, ... т. Тогда

\У2\-{у1-уУП{у1-у

2(2

, (3.68)

где г/1 - корни выражения (3.67).

Хатори i[8] распространил изложенный метод на случай полосового фильтра с различными величинами затухания в полосах задерживания ниже и выше полосы пропускания. Он предложил также дополнительную процедуру, которую можно использовать в том случае, когда сходимость процесса последовательной аппроксимации замедляется после нескольких повторений описанного цикла. Идея этого метода следующая. Пусть /C=4(iQ) и пусть К принимает минимальные значения, равные Кц в точках Я = = iQn(n=l, 2, т). Величину К на краю полосы обозначим через .0. Рассматривая Кц как функцию расположения полюсов затухания Qi{i=l,2,... т), получим

%i = dKJdQi = [-2 Q,/(Qf -QI)] ((X = 0, 1.....m).

Малые приращения Qi, соответствующие приращениям /Сд, могут считаться линейными. Следовательно,

; = M + S a,(6Qi)(n = 0, 1.....т),

где /Сд - величины Кц после того, как Qi получили приращение; 6Qt - приращение Qi. Для того чтобы К изменялось по чебышевскому закону, все Кц должны быть равны. Поэтому

£ (ccoi-%i)6Q, = K-Ko (11= 1,2,..., m).

Это равенство можно решить относительно 6Qi. Приблизительные значения Q можно получить, заменив правую часть (3.67) на рл.

Описанные методы имеют целью получение чебышевской характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Однако в некоторых случаях требования к затуханию в полосе или полосах задерживания могут изменяться с частотой. Тогда использование метода Q-функций приводит к необходимости выполнения некоторой тривиальной работы для определения расположения полюсов затухания. Если используется ручной счет, может оказаться полезным метод шаблонов [9-11]. В последнее время различными авторами были предложены полностью автоматизированные процедуры итеративной аппроксимации характеристик фильтров с сосредоточенными параметрами [12-17]. Как отмечает Фуджисава [16], эти методы можно с небольшими изменениями использовать и для фильтров с распределенными параметрами, кратные полюсы затухания которых находятся в точках Х=±1. Подробности описаны в оригинальных статьях.

Отметим другую особенность применения электронно-вычислительных машин (ЭВМ) для решения задач синтеза электрических цепей. Использование обычных процедур синтеза лестничных схем приводит к необходимости вычислений с очень большим числом знаков; в противном случае значения величин элементов получаются с недопустимо большими ошибками. Эту трудность можно устранить с помощью новых процедур синтеза [18, 19], использующих частотнопреобразованные переменные [вроде (3.61) для случая фильтра нижних частот]. Подобные же процедуры следует использовать при синтезе фильтров с распределенными параметрами на ЭВМ.

3.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ

В технике синтеза фильтров на сосредоточенных параметрах широко используются частотные преобразования, например реактансные. В случае цепей с распределенными параметрами их при-

менение затрудняется тем, что точки Х=±1 не должны сдвигаться при преобразовании. Исключение представляет преобразование вида 1=11к. Подстановка этого выражения в (3.14) дает

А В С D

= (1-5)

Li/2o

(3.69)

Последняя матрица в (3.69) соответствует идеальному мнимому гиратору; все соотношение иллюстрируется рис. 3.8. Каскадное

Рис. 3.8. Преобразование ЕЭ для Я-1Д

соединение двух идеальных мнимых гираторов представляет собой идеальный трансформатор. Можно получить некоторые эквивалентные преобразования [20], подобные описанным в гл. 1. Следовательно, синтез цепи нижних частот можно легко свести к синтезу цепи верхних частот. Примером может послужить четвертьволновый трансформатор, расчет которого, как цепи нижних частот, хорошо разработан (см. гл. 1). Решение задачи Коллина (21, 22] сводится к выполнению расчета симметричной или несимметричной цепи нижних частот.

Список литературы

1 Ikeno N. Fundamental principles of designing filters witii distributed elements. - Elec. Commun. Lab. Tech. Rept. , 4, N. 3, 1955, p. 379-417 (на японском языке). , ,

2 Ozaki Н. and Ishii J. Synthesis of transmission-line networks and the design of UHF filters. - IRE Trans. Circuit Theory*, CT-2, 1955, p. 325-336.

3. Ishii J. An approach to transmission-line filter approximation problems by potencial analogy.- J. Inst. Elect. Commun. Engr. , Japan, 42, N. 6, 1959, p. 569-573 (на японском языке).

4 Kuroda К. Design of transmission-line filters having specified insertion losses. - J. Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, 37, N. 5, 1954, p. 365-369 (на японском языке).

5. Cauer W. Theorie der Linearen Wechselstromschaltungen, I. - Akademische Verlaggeselschaft . Leipzig, Becker&Erler, 1941.

6 Ikeno N. A design Method of Coaxial Filters. Part 3. - Internal. Rept. Elec. Commun. Lab. . Telephone and Telegraph Corp. of Japan, July 1952 (на японском языке). , ,

7. Bennett В. J. A note on filter synthesis. - IRE Trans. Circuit Theory , CT-1, 1954, p. 61-64.

8 Hatory K. A. method of Chebychev approximation in filter design.- J. Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, 42, N. 3, 1959, p. 216-221 (на японском Я 3 ы kg)

9. Rumpeit E. Schablonenvervahren fiir den Entwurf elektrischer Wellenfilter auf der Grundlage der Wellenparameter. Telegraphen-Fernsprech-Funk- und Fernseh-Technik, 31, 1942, p. 203-210.