10. Belewitch V. Elements in tiie design of coventional filters. - <Elec. Commun. , 26, 1949, p. 84-98.

11. Herrero J. L. and Willoner G. Synthesis of Filters. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1966, p. 128.

12. Hart! H. Die Anwendung elektrischer Digitalrechnung in der Netzwerktheorie. NTZ 13, 1960, p. 313-340.

13. Yoshioka A., Watanabe W. Design of filters having Chebyshev character in the pass-band and approximating given attenuation specification in the stop-band (Paper presented at 1962). - Nat JVYeeting of the Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, Oct. 1962, p. 3-4 (иа японском языке).

14. Temes G. С. Filter synthesis using a digital computer, 1962.- IRE Intern. Convention Records, Part 2, p. 211, JVYarch 1962.

15. Smith B. R., Temes G. C. An iterative approximation procedure for automatic filter synthesis. - 1ЕЕЕ Trans. Circuit Theory , CT-12, 1965, p. 107-112.

16. Fujisawa T. Theory and procedure for optimization of lowpass attenuation characteristics. - 1ЕЕЕ Trans. Circuit Theory*, CT-11, 1964, p. 449-456.

17. Fujisawa T. Optimization of band-pass attenuation characteristics. - Proc. ICJVYCb, (Tokyo). Part 2, 1964, p. 25.

18. Watanabe H., ledokoro Т., Tsuchiya T. A new calculation method for the design of filters by digital computer with the special consideration of the accuracy problem. -mcIEEE Int. Convention Record , Part 2, 1963, p. 100-113.

19. Bingham J. A. C. A new method of solving the accuracy problem in filter design. - 1ЕЕЕ Trans. Circuit Theory*, CT-U, 1964, p. 327-341.

20. Kuroda K. Some equivalence transformations in ladder-type networks with distributed constants. - Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, JVYonograph Series on Circuit Theory, Feb. 1957 (на японском языке).

21. Collin R. E. Theory and design of wide-band multisection guarter-wave tranformers. - Proc. IRE , 43, 1955, p. 179-189.

22. Riblet H. J. General synthesis of quater-wave impedance transformer. - IRE Trans. JVYiorowave Theory Tech. , MTT-5, 1957, p. 36-43.

ГЛАВА 4

Фильтры на связанных линиях

Нобуйи Сато

Использование связанных лини11 позволяет значительно развить технику СВЧ цепей (т. е. цепей из отрезков линий передачи). В данной главе представлен анализ цепей на связанных линиях, основанный на использовании метода собственных колебаний (модов) при изучении компонент цепей на связанных линиях. Получен ряд эквивалентных представлений для различных отрезков связанных линиях, которые сведены в таблицы. Представлено обобщение теоремы Ричардса, использовавшейся ранее при синтезе цепей с одним входом, на цепи с двумя и несколькими входами. Это обобщение теоремы, названное здесь теоремой Ричардса в матришой форме, имеет важное значение при синтезе цепей на связанных линиях.

4.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ГЛАВЕ

и, I - векторы напряжения и тока в линии;

U+, и~ - векторы падающей и отраженной волн напряжения в линии; U, i - векторы напряжения и тока, полученные преобразованием U и I; С - матрица погонных емкостей линии;

Р, у--фазовая постоянная и постоянная распространения волны в линии; А, Б - .матрицы преобразования напряжений и токов в линии; р., е - магнитная и диэтектрическая проницаемости среды;

X, X*, Х-, det X -транспонированная, транспонированная и комплексно сопряженная, обратная матрицы для матрицы X и ее определитель. G - матрица волновых проводимостей линии; G, J-элементы матрицы G;

G,e - частичная волновая проводимость для г-го проводника относительно земли; g - диагональная матр.ца, полученная преобразованием из G, gt,-элементы диагональной матрицы g,

ge, gs, gg, g/ -матрицы волновых проводимостей, соответствующие модам фиктивной и бокоьой цепей, а также короткозамкнутой и разомкн)Той линиям,

Х=а + \ Q = tnY - комплексная частотная переменная для распределенных цепей;

Re Я - вещественная часть X,

Хо, Xi, Лг -нули передачи,

Li, Li, М, Со - элементы ззеиа Бруне типа С;

У-отношение числа витков для связанных индуктивностей Li и L;

Y{X) - положительная вещественная проводимость нли матрица проводимостей;

Ко - волновая проводимость коаксиальной линии,

У, (Х) - входная проводимость остающейся цепи после выделения из цепи с проводимостью У(>;,) i отрезков коаксиальной линии; С, -значение У, при Х=1;

Уо. - нагрузочная проводимость для цепи с входной проводимостью У,; Ул -матрица проводимостей цепи, полученная из полной матрицы Y использованием процедуры Ричардса;

Y Yi - матрицы проводимостей, измереньые на входном и приемном концах звена многопроводной линии;

Y-матрица проводимостей, полученная из Y после выделения полюса в Я = 0; Z - вещественный постоянный л-вектор.

4.2. ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРОВ НА СВЯЗАННЫХ ЛИНИЯХ

Термин фильтры на связанных линиях был впервые использован для наименования фильтрующих цепей (или реактивных четырехполюсников), состоящих главным образом из отрезков многопроводных линий и включающих также отрезки коаксиальных линий Свойства многопроводных структур являются более общими и разнообразными, чем свойства коаксиальных линий, что обусловлено существованием электрической и магнитной связи между проводниками многопроводной линии. Использование отрезков многопроводных линий как элементов СВЧ цепей, приводит к важному и полезному расщирению понятий теории цепей с распределенными параметрами; точно так же, как введение трансформаторов увеличивает гибкость и возможности теории сосредоточенных RLC цепей.

В первой части главы внимание концентрируется на эквивалентных представлениях для звеньев из многопроводных линий, получаемых при различных граничных условиях на концах проводников. Они сводятся к схемам, состоящим из отрезков коаксиальных линий и идеальных трансформаторов. Во второй части рассматривается синтез цепей на многопроводных линиях. Представлен ряд интересных результатов, например, синтез положительной вещественной рациональной скалярной функции и развитие теоремы Ричардса для применения при синтезе цепей из многопроводных линий.

Тиже дается ряд ограничений, которые являются обычными при рассмотрении задач синтеза для цепей из коаксиальных линий, и приводят положения теории синтеза многопроводных линий в близкое соответствие с теорией синтеза цепей на сосредоточенных элементах:

1) электрические длины отрезков линий, используемых как элементы цепи, должны быть одинаковыми;

2) идеальные трансформаторы не применяются;

3) гираторы не используются;

4) допускается только каскадное и параллельное соединение отрезков в составных цепях, но не последовательное.

Выражения цепи с линиями передачи соразмерной длины или цепи с четвертьволновыми линиями определяют понятия, соответствующие выполнению условия 1). Введение условия 3) обусловлено не трудностью реализации гираторов, близких к иде-

> Здесь под коаксиальной линией (структурой) правильнее понимать любую конфигчрацию экранированной двухпроводной линии. - Прим. перев.

альным, на СВЧ, а исключительно стремлением упростить задачу синтеза. Условие 4) важно для экранированных структур (коаксиальных и многопроводных), когда все внутренние проводники окружены экранирующим наружным проводником. В таких структурах реализация последовательного соединения приводит к на-рущению экранировки и, как следствие, к возможности излучения i электромагнитного поля, поэтому последовательные соединения ис-I ключень Все перечисленные в п.п. 1-4 ограничения используются без изменения при синтезе цепей из связанных линий.

Связанные линии первоначально применялись в узкополосных полоснопропускающих и полоснозапирающих фильтрах. Для узкополосных фильтров в коаксиальном исполнении часто требуются отрезки с очень большим или очень малым волновым сопротивлением. В то же время при использовании связанных линий связи между проводниками можно легко сделать сколь угодно малыми (например, помещая между проводниками экраны) и обойги трудности, возникающие при реализации узкополосных фильтров.

Более важные преимущества многопроводных линий рассматриваются в этой главе. К ним относятся большая свобода в выборе структур, а также то, что условия реализации можно расширить на более широкий класс функций и матриц.

К наиболее ранним работам по синтезу фильтров на связанных линиях относится работа Саито fl]. В последние годы важный вклад в развитие этой области внесен Матсумото [2], [3].

4.3. АНАЛИЗ ТИПОВ ВОЛН В МНОГОПРОВОДНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ

Уравнение линии передачи

Передача ТЕМ-волн по однородной многонроводной линии передачи с параллельно расположенными идеальными проводниками и заполненной идеальным диэлектриком без потерь при синусоидальном возбуждении описывается следующими соотношениями (рис. 4.1);

и=.и+е-Р+ и-еР , (4.1)

l = G(U+e-P*-U-eP\ (4.2)

P = co(p8) G = C/(p8)/ (4.3)

где и и I - м-векторы напряжений и токов проводников. Линия состоит из п внутренних проводников и экранирующего проводника (иногда называемого заземлением); LI+ и U- -векторы падающих и отраженных волн напряжения в линии; квадратная матрица п-го порядка G есть матрица волновых сопротивлений системы; С - матрица собственных и взаимных погонных емкостей системы. Элементы этих матриц не зависят от частоты и расстояния вдоль линии х; р -фазовая постоянная ТЕМ-волны; со - кру-

Рис. 4.1. Линия с (га+1)-проводниками бесконечной длины faj и эквивалентная цепь с п входами из активных проводимостей (б)

Напряжения и токи t отнесены к сечению лилии х = xt

говая частота возбуждения; ц и е - магнитная и диэлектрическая проницаемости материала заполнения.

Если линия имеет бесконечную длину или нагружена на систему сопротивлений, матрица которых равна матрице волновых сопротивлений G, тогда U-=0 и ур-ння (4.1) и (4.2) сводятся к выражению l = GU. Элементы матрицы G Оц и Gij (при 1Ф1) удовлетворяют условиям

G.j = Gji, Gi/>0, (4.4)

detG = GiO, (4.5)

G, в 2 Gil ~ V Gil > (=>. 2,..., л), (4.6)

где det G - определитель матрицы G. Матрицы, удовлетворяющие условиям (4.4) - (4.6), называются неособенными гнпердоминант-ными [4]. Поэтому необходимым и достаточным условием того, чтобы симметричная вещественная матрица G, состоящая из постоянных элементов, была матрицей волновых сопротивлений мно-гопроводнон линии, является требование ее гипердоминантности и неособенностн [5].

Диагонализация матршц>1 волновых сопротивлений

Рассмотрим линейное преобразование U и 1:

U = Au, 1 = (А*)- 1, (4.7)

где А - произвольная постоянная матрица; и и 1 - преобразованные п-векторы напряжения и тока; А, А* и A~i - соответственно

транспонированная, сопряженная и обратная матрицы для А. Применив преобразование (4.7) к l = GU, получим i = gu, где

g = A*GA. (4.8)

Преобразование (4.7) не изменяет мощности системы, так как

и* I = (Л U)* (А*) i = U* А* (А*)- i = U* i.

(4.9)

Согласно теории матриц вещественная симметричная матрица может быть диагонализирована при соответствующем выборе матрицы А*). Более того, неособенность и гипердоминантность матрицы G гарантируют положительность всех ненулевых элементов диагональной матрицы g. Любую неособенную вещественную матрицу А п-го порядка, используемую в преобразовании (4.7), можно сопоставить с многообмоточным идеальным трансформатором с 2п входами, представляющим соединение обычных идеальных трансформаторов с двумя входами (рис. 4.2а). На этом рисунке Gij равны элементам матрицы А, а gu - соответствующим диагональным элементам матрицы

Рис. 4.2. Интерпретация линейного преобразования с помощью многооб.моточно-го идеального трансформатора; а) при использовании соотношения U = Au; б) при использовании соотношения I=Bi

) Преобразование (4.8) является конъюнктивным преобразованием в случае, если матрица А неособенная. Такое преобразование является эквивалентным и сохраняет ранг матрицы G. В частном случае вещественной неособенной матрицы А это преобразование называется конгруентным. - Прим. перев.

2 На -рис. 4.2а предполагается, что матрица преобразования А выбрана так, что выполняется диагонализадня G. - Прим. перев.