Другая возможная интерпретация Л-преобразования представлена на рис. 4.26. В этом случае используется матрица В, определяемая из соотношений:

I = (А*)- 1 = В i, В = (Л*)- , (4.10)

G = BgB*. (4.11)

Одно из возможных применений эквивалентной цепи из активных сопротивлений для трехпроводной линии приведено в работе Коицуми {6]. Метод получения эквивалентных цепей с помощью линейных преобразований, сохраняющих мощность и его теоретическое обоснование, дан Куродой [7].

Моды передачи

Продолжая исследования диагонализирующего преобразования, определяемого соотношениями (4.7) и (4.8), рассмотрим бесконечно длинную ( -f-l)-проводную линию, состоящую из п проводников, расположенных над заземленным проводником (рис. 4.3а). Предположим, что распространяются только падающие вол-

Рис. 4,3. Использование линейного преобразования А для анализа мо-дов в многопроводной линии; а) линия с + проводниками бесконечной длшы; б) ее эквивалентное представление с использованием для сечения х соотношения l = GU; в) преобразование цепи G с помощью идеального трансформатора (преобразование А); г) реализация нагрузочных проводимостей g - бесконечными дву.хпроводны-

ми линиями

ны, а отраженных волн нет. В любой точке линии при этом выполняется соотношение I = GU для токов и напряжений проводников. Цепь на рис. 4.36 представляет собой эквивалент линии. Правую часть линии можно заменить матрицей волновых проводимостей линии G. Применение линейного преобразования А приводит к диагональной матрице g, полученной из G, и цепь на рис. 4.36 можно заменить эквивалентным представлением на рис. 4.30, реализованным так же, как на рис. 4.26.

Напомним, что любая неотрицательная скалярная постоянная gxi может рассматриваться как входная проводимость бесконечно длинной коаксиальной или двухпроводной линии с волновой проводимостью gii. Поэтому все проводимости ga можно заменить коаксиальными линиями, как на рис. 4.3г, и рассматривать передачу ТЕМ-волн в линии с (п+1)-проводниками в виде суперпо-

зиции п ТЕМ-волн, распространяющихся раздельно в коаксиальных линиях с волновыми проводимостями gii (/= 1, 2, п). Для ТЕМ-волн в эквивалентной системе коаксиальных линий передачи здесь будет использован термин моды .

Мощность, переносимая по линии в сечении хи полностью рассеивается в эквивалентных нагрузках ga и сумма всех мощностей, рассеянных в нагрузках g, равна полной входной мощности. По этой причине эквивалентные коаксиальные моды названы ортогональными.

Анализ в трехпроводной линии на основе модов

Для того чтобы проиллюстрировать анализ на основе эквивалентных модов, рассмотрим трехпроводную линию, являющуюся простейшей многопроводной структурой. На рис. 4.4 дано эквивалентное представление ее в виде сосредоточенной цепи для этого случая. , Данную цепь можно преобразовать в любую U,

<1 +

1 - г-------- -----J -

из цепей на рис. 4.5 с идеальными трансформаторами. Эти эквивалентные представления v более полезны для анализа цепей из трехпро- о-I-водных линий, так как:

1) каждое содержит только две проводи- Рис. 4.4. Эквнвалент-мости, т. е. минимальное их число, необходи- чая цепь с двумя вхо-мое для реализации матрицы второго по- - активных

проводнмостзи, нередка; пользуемая для пред-

2) велИчииы проводимостей можно легко ставлепия неособен-определить измерениями на внешних зажимах, ной гипердоминантпой Например, входная проводилтость hlU, цепи, матрицы волновых

io . -С гг л проводимостей липни

показанной на рис. 4.56, равна d при /2 = 0, . проводниками и l9jU2 = deiGlG\i при/iO. Более детальное

Jet В

br(B2-2~G,2)k

Рис. 4.5. Три основных эквивалентных представления матрицы волновых проводимостей второго порядка: а) соответствует комбинации модов боковой и фиктивной цепей; б) и в) комбинации модов короткозамкнугой и разомкнутой линий Цепи б) и в) дуальны друг другу

рассмотрение дает

1-6/ by

(4.12a)

4-24

Ьг --(G -Gn)lg g, = det G/gp, gp = Gu + - 2 G12 для цепи на рис. 4.5а и

(4.126) (4.12в)

(4.13а)

Ьг = G,2/G , gg = Gu, = det G/G (4.136)

для цепи на рис. 4.56. Цепь на рис. 4 5в дуальна цепи на рис. 4.56.

Величины gs и g-p были названы Учида 8] волновыми прово-димостями для модов боковой цепи и фиктивной цепи соответственно. Величины gg и gf будут здесь названы волновыми про-водимостями модов короткозамкнутой и разомкнутой линии соответственно (как в работе Куроды [7]) Можно использовать также и другие наименования, такие как сбалансированные и несбалансированные моды, нечетный и четный, с положительной фазой л с нулевой фазой и т. д.

Анализ четырехпроводной линии на основе модов

Латрица волновых проводимостей системы из четырех проводников имеет вид

Gio + G12 -f Gi3 - G12 - Gi3

- G12 Gjo -f Gag -f G2 - G12

- G,

Gso + + G }

(4.14a)

Gio, Gt,>0, (.-,/= 1,2.3), detG=?0,

(4.146)

и ее можно представить цепью из проводимостей с тремя входами, как показано на рис. 4.6. Следующий шаг при анализе -

Ь S. ь

н=ж=н

Рис 4 6 Эквивалент пая цепь с тремя входами из активных проводимостей, соответствующая матрице волновых проводимостей бесконечно длинной линии без потерь с четырьмя проводни ками

найти соответствующую матрицу А, диагонализирующую G. В табл. 4.1 приведены пять различных вариантов матриц А, которые будут полезны в дальнейшем при цепном анализе четырех-проводных линий. В табл. 4.1 представлены эквивалентные цепи

заны методы измерения g и а (/, /=1, 2, 3).

ТАБЛИЦА 41

Примеры Л и g для диагоиализации G

Схема

Схема

° 9п-

гг77777утгр7г777777г7-

о о

Формулы

1 а, О

1 аз О О 1

.1 = 0,1

§33 = I G I/IG33I

13 = Охг/Оа

2 23=1-023 1

1 11

21 1 1 LSl 32 1

аз1 = Л~ (-02з--0,з1)

Л= - (Gul + -Gi,l)

e32= (Gio -О2о)/Озо

gu{Gu-!G22 L2 X

X -Gu)Gl,(lGu+-G,3l)2

§22 = (Gio + G20 + Ggn) (i Gil I +

I I - 2 1 - G12I) Gi g-i-i Gin + G<o -1- G30

110 a 1 0

g-22 = (!Gii ]G2, + 2-Gi2)/G33 §33 = G33

0,3 (G33I

21 =(621 в /2)

31 = (flsi в Ar.)

32 = (Gi3 + 0,з)/0зз

) Волновая проводимость четырехпроводной

Схема

у о о

формулы

1 о о

131 3-2 1

= --Gi2l/Gul = -Gi3t/Giil G22 -

Gas - G2:

gu = lG/Gul

IG l(G2a + G33-2G23)

gss = G22 + G33 - 2 G23

Некоторые общие замечания по анализу на основе модов

Для линии с произвольным числом проводников необходима систематизированная методика определения матриц преобразования А или В. Другой задачей является метод получения А матрицы, наиболее удобной для анализа данной системы. Ниже представлен общий подход к анализу на основе модов.

Предположим, что все {п+\) проводников не имеют коротко-замыкающихся соединений друг с другом (рис. 4.7а). Приложим

Рис, 4.7, Метод разложения ТЕМ-ВОЛН, распространяющихся по многопроводной линии, в ортогональные моды: а) выбор первого мода; б) определение второго мода

Примечание. При определении второго мода U.=OJ~\

поэтому при переходе к третьему по порядку моду необхояи-

ио принять и<>=и т*

постоянную разность потенциалов между двумя произвольно выбранными проводниками, например, j-m и k-w. и предположим, что потенциал i-ro проводника положительный, а /г-го - отрицательный. Измерим напряжение индуцированное на каждом проводнике, по отношению к некоторой точке отсчета, например, по отношению к (п-ь1)-му проводнику, который примем равным {У 4-1 = 0. Измерим входную проводимость gj со стороны источника. В соответствии с рис. 4.2а можно принять (/( yt/fi) (/=1,2,

п) и (1-U<.\im)iygih за значения и gu соответственно. Здесь Oji есть (/, 1) элемент А и gii(l, 1) элемент g.

Замкнув теперь между собой i-й и к-и проводники (т. е. положив Ui = Uh=U\), повторим тот же процесс. Получим аг и g22, причем аг2=ам, так как №, = (/(2). Процесс короткого замыкания проводников продолжается п раз до тех пор, пока никакие ЭДС нельзя будет приложить между проводниками, так как все они коротко замкнуты между собой. При этом будет получено требуемое число элементов для того, чтобы составить пару матриц А и g.

Выбирая другую последовательность проводников, можно получить другие пары матриц А и g. Вообще говоря, существует возможность выбора (2!/0!2) X... ((Аг-f l!/(ii-1!2) пар матриц А и g для анализа на основе модов (л-fl)-проводной линии, как это следует из рассмотренной процедуры. Подобным образом можно также показать, что имеется много решений ур-ния (4.8).

Следующий вопрос касается выбора матрицы А из многих возможных вариантов. Наиболее удобным выбором матрицы А обычно считается такой, который обеспечивает простейшее эквивалентное представление отрезка многопроводной линии (многопроводной цепи) при заданных граничных условиях на концах проводников отрезка.

В следующем разделе приведены примеры анализа цепей (см. также работу Учида {9], где детально описывается анализ с использованием модов и его применение).

4.4. ЦЕПНОЙ АНАЛИЗ ОТРЕЗКОВ МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ

Многопроводная линия конечной длины

Для исследования ( -f 1)-проводной линии конечной длины, называемой здесь и далее отрезком многопроводной линии или многопроводным единичным элементом (кратко МЭ), преобразуем цепь на рис. 4.За в ее эквивалентное представление.

Рассматривая цепи, показанные на рис. 4.8а, 4.3г и рис. 4.86, можно видеть, что в точке лгг, отнесенной на некоторое расстояние / от точки Xi, векторы напряжений и токов модов и и i преобразуются в соответствующие векторы напряжений и токов провод-

Использован термин, сходный с термином единичный элемент (ЕЭ), принятым для обозначения отрезка коаксиальной линии, - Прим. перев.