на позиции Па (табл. 4.4), может быть, в частности, полезна для этой цели.

Как упоминается в гл I и 6 петля Икено [25], [26] -очень полезный элемент для реализации нулей передачи на мнимой оси и на вещественной оси при Re >.о = ао > 1 (рис. 4.12). Кроме того, звено в виде обобщенной петли, предложенное Ишии [27] и рассмотренное также Икено [28], имеет нули передачи, распо ложенные вне обеих осей (см. также § 6.9). Реализация нулей передачи на участке вещественной оси между 1 п -1 рассматривается в следующем разделе (см. также §§ 5.3 и 6.8).

Реализация вещественных нулей передачи

Рассмотрим задачур еализации нулей передачи между 1 и -1 на вещественной оси. Па рис 4 13а показано предложенное Матсу-

а м

С6

Рис 4 13 Звено Матс>мото (а) и его эквивале]1тное представление (б)

мото [29] звено, которое эквивалентно составному звену типа С (рис. 4.136), если

/-1 =

из г) 1 - а.

1 + . .

Bi v 1 - аз J gi

a, - cu

0-3

(4.17)

g2 =

a, =

[G,3(Gi3 + G23)-G33(G..2 -Gi.,)P Gil + G22 - 2 G12

Gs. - [(Gi, + G23)V(Gii + G22 - 2 G12)] G23 (Gil - G12) - Gi3 (Gi3 + G23)

a, =

a, =

(4.18)

G23 (Gi3 + G23) - G33 (G22 - G12) G,3 (G,-Gi2)--Gi3 (G22-G12) G23 (Gi3 + G23) - G33 (G,2 - G12) (Gi3+G23)/(G,i-f G22-2G12)

Здесь G,. и -Gjj - элементы матрицы волновых проводимостей G использованной четырехпроводной линии. Н>ли передачи звена типа С кх и ы определяются соотношением

= - М Со = - g2 ( 1 - 2) [ 1 - 3 + аз (ai - а)] Ig,. (4.19) Здесь А,1 и Я2 = -А,1 будут вещественными или мнимыми в зависимости от положительности или отрицательности выражения

1-аз-f аз(а1-аг) и, следовательно, от положительности или отрицательности разности G20-Gi3, так как g2lgi0 и а,-ОгО. Интерес представляет только случай вещественных >.i и Хг (случай мнимых Xi и х2 разбирается дальше).

Рассмотрим теп.=рь вопрос - всегда ли звену типа С, включенному каскадно с ЕЭ (рис. 4.136), будет соответствовать физически реализуемое звено Матсумото, представленное на рис. 4.13а. Из рассмотрения соотношений (4.17) и (4.18) следует, что при задании произвольных неотрицательных значений Li, L2, Со и Уо не всегда можно получить неотрицательные значения Gij{i=l, 2, 3; /=1,2, 3). Например, если принять

Gil - G12 - G13 = G,3 - Gi3 - G20 = О, (4.20)

то из ур-ний (4 17) и (4 18) получим

G2O = G22 -iG23 - Gj2 =Cg + Yg

G23 = Уо [Уо ( + 1) + Со (W - 1)]/Со [Ко (Ч + 1) -f Col

Gi2 = -

Здесь

L- (Co + Ко) - Ко [Y (У + 1) -f Со (У - 1)] [Ко(Ч1) + С ]2

-(Со + Уо)

(4.21)

= > 0. (4.22)

Рассматривая соотношения (4.20) и (4.21), можно видеть, что неотрицательным значениям Li, l2, Со и Уо соответствуют неотрицательные значения G (;=l,2, 3; /=1,2,3) только в том случае, если выполняются условия

Gq Go о

Со -f Ко

L.,Ko

(4.23)

Если использовать предположение (4.20), то соотношение (4.19) приводится к виду

во = О (G20 - Gi3)/[Gi2 (G,3 i- G23) + Gi3 G,J, (4.24)

где GzoO и вместо /.1,2 использовано обозначение ао>0. Величина сто стремится к О при стремлении G20 к оо. На рис. 4.14 приведена конфигурация линии специального вида, которая обеспечивает выполнение условия (4.20).

Следующая задача заключается в том, чтобы показать, что любая положительная вещественная функция У (Я), имеющая вещественные нули передачи, может 1всегда быть синтезирована с помощью конечного числа элементов. Без потери общности можно предположить, что заданная функция У (Л) не имеет ни нулей, ни полюсов на мнимой оси. Выделим

Рис 4 14 Поперечное сечение линии с четырьмя проводниками, у которой Gio = G3tt=0

i единичных эле1ме тов из У (Я), как показано на рис. 4.15, так чтобы оставшаяся часть цепи определялась входной про;водимостью Ш = Y. , (1) ItliX]±ilA12 (/ 1, 2...../), (4.25)

где y, i(X) - входная проводимость цепи, остающейся после (i-1)-го выделения; y, i(l)-волновая проводимость следующего ЕЭ. который должен быть выделен из У, 1(Я). Положнтель-

Рис. 4.15. Каскадное выделение единичных элементов с последующим выделением звена типа С

ность и вещественность Yi{l) гарантируется, как следствие теоремы Ричардса [30]. Кроме того, Yi{X) имеет нули передачи те же, что и У, ((Я), исключая нуль в Х-±1, если Yi.-i{l) не имеет никаких полюсов на мнимой оси, так как

где Gi i=yi i(l). Отсюда следует возможность выделения звена типа С, если У(Л) и, следовательно, Yi{X) имеют вещественный нуль передачи. Используя результаты Юла [31], например, можно получить выражения для параметров звена С:

/., = [7Да )-УДао)ао]/2аоУЛа )

-= [Y, Ы + У\ (сТо) <12 ао У Ы [У, Ы - Ы о ]

, (4-27)

Vv.nWdX Нагрузочная проводимость, присое-Т =?ня aSSoIetiif с ./н1 определяется соо сше ием

(4.28)

И она будет рациональной положительной вещественной функцией, если такой является УДл). Кроме того, если Оо есть нуль передачи функции Yi{X), тогда степень Уо<(Я) меньше степени Y/(X) на 1 или 2 в зависимости от того, является ли ао простым или двойным нулем.

Согласно результатам Икено [25], если число ЕЭ, выделенных ранее, достаточно велико, то из соотношения (4.25) следует, что

d y,{l)/dX -0 (4.29)

для любого положительного т и при Re Х>0

Yi(X)Y{0), {ioo) (4.30) в предположении, что У(0)#0 и У(0)#оо. (Доказательство приведено в работах Икено [28] или Саблета [32].) Из полученного выше следует, что при ао>0

У{а,)У{0), Yt{a,)0 {i оо). (4.31) Применяя эти соотношения к ур-ниям (4.27), получим

1/2аоГ(0), L,L,

C -2F(0)/(T . (4.32) М-Z.1 (i-oo)

Поэтому из соотношения (4.28) при }.= 1 получаем Уо1(1)->-У(0) (г->-оо). Таким образом, для ао>0

Co-Koi(l) 2-g,

Со + Уо.(1) 2 + 00 Co-Y,i{\)

<1, W = {LJL,)

1 + СТо > 1

(/ -> оо), (/ -> оо).

(4.33) (4.34)

-о о i С) 2 Уо1 (1)

Отсюда следует, что в пределе при I-oo ограничительное условие (4.23) всегда выполняется для Yt{X), если в качестве волновой проводимости Уо единичного элемента, включенного каскадно вслед за С звеном (см. рис. 4.136), принять значение Уоь Кроме того, однородная сходимость соотношений (4.29) и (4.30) и, как следствие, соотношений (4.33) приводит к заключению, что всегда существует достаточно большое конечное положительное целое число jV, такое, что для любого положительного целого числа n>N п выделений единичных элементов из У(Х) будет давать в результате положительную вещественную функцию Уг, (>-), из которой может быть выделено составное звено типа С, удовлетворяющее условию (4.23). Другими словами, нуль передачи любой положительной вещественной рациональной функции Y{X) может быть реализован с помощью звена Матсумото и некоторого числа каскадно включенных единичных элементов.

На рис. 4.16 приведен численный пример. В этом примере звено типа С для схемы на рис. 4.16а не может быть реализовано

Рис 4.16. Синтез функции входной проводимости

Ул={\+Х+Х)/{1+9Х+

Разномерности индуктивности - г или Ом. емкости - Ф или См, единичные элементы и нагрузки - См. Gio = Gso = О, G20 = = 2,786, Gi2 = 0,00442. С.з = 0,371, Gi = 1,189

-тп... 1 л

о\ЕЭ 1

с помощью звена Матсумото, однако другое представление

в виде схемы на рис. 4.166 допускает требуемую реализацию

ЕЭ ~ ЕЭ - ЕЭ 1,5 - 0,5 - о,т

-1,111

2/5,211 T-i.5/u

Рис. 4.17. Синтез функции в.ходной проводимости Кв = (1 +4А,--+ 16А,2)/(1+9А,+4>.2)

Размерности: индуктивности - Г или Ом, емкости - Ф или См, единичные элементы и нагрузки - См. Gio = G30 = 0. G20 - = 5,516, G12 = 0,0157, Gi3 = 0,642, G23 = 0,579

(рис. 4.16в). Другой пример дан на рис. 4.17. Детальное рассмотрение этого примера можно найти в работе Саито {33] и в работе Сканлана и Роудса [34].

Сводка результатов н замечания

Результаты можно суммировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Любая положительная вещественная рациональная функция (Х) может быть реализована как входная проводимость реактивной цепи с двумя парами зажимов, нагруженной на выходе положительной вещественной активной проводимостью. При этом цепь с двумя парами зажимов (с двумя входами) состоит только из единичных коаксиальных и многопроводных элементов {ЕЭ и МЭ), соединенных каскадно или параллельно, т.е. без идеальных трансформаторов и гираторов и без последовательных соединений элементов.

Эта теорема устанавливает только условие существования, т.е. возможность реализации функции Y{X). Остаются открытыми задачи: 1) определения минимального числа элементов, необходимых для реализации заданной функции Y{%) и 2) нахождения наиболее простых эквивалентов, обеспечивающих реализацию

Рис. 4.18. Звенья, реализующие различные нули передачи: а) звено в виде сог.1утой под углом 180° линии; б) звено Саито; в) звено Роудса; г) звено Панга

структур с помощью наиболее просто конструируемых элементов.

Некоторые полезные примеры показаны на рис. 4.18. На рис. 4.18а представлено звено в виде согнутой под углом 180° линии, обеспечивающее реализацию нулей передачи на реальной оси, не равных ±\{\оо\ф\) (см. табл. 4.4, п. Va). Звено Саито [35], показанное на рис. 4.186, эквивалентно петле Икено (см. табл. 4.4, IV6). Звено Роудса [36] на рис. 4.18в имеет нули передачи на мнимой оси и звено Панга [37] на рис. 4.18г имеет нули, расположенные вне обеих осей. Другие примеры можно найти в работе Матсумото [38] и в работах других авторов [39]-[47].

4.7. МАТРИЧНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ РИЧАРДСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Теорема Ричардса в матричной форме

В этом параграфе рассмотрено обобщение теоремы Ричардса на цепи с несколькими входами. Это обобщение, названное здесь теоремой Ричардса в матричной форме, имеет важное значение для синтеза распределенных цепей с числом входов больше двух.

Теорема. Если неособенная симметричная матрица ¥(Я) является положительной вещественной и матрица ctoY(cto)-ЯУ(Я) является неособенной для любого положительного вещественного числа ао, тогда матрица

() = Y (Оо) [о, Y (Оо) - Я Y (Я)]- [Оо Y (Я) - Я Y {о,)] (4.35)

также будет положительной вещественной и симметричной.

Доказател ьство. Сначала исследуем положительность и вещественность матрицы

Ya = стц [К Yo - оц Y - o2j, (4.36)

где Yo=Y(ao). Заметим, что \а{Х) регулярна для ReX>0, так как \(Х) регулярна для ЯеЯ>0, а множитель л-оо сокращается в числителе и знаменателе \а(1). Теперь заметим, что энергетическая матрица, соответствующая матрице Ya(/.) на мнимой оси,

Т [Ya (i + Y; (i Q)] = [Y (i Q) + Y* (i Q)] -

+ 05

-iQa (Y -Y)),

является неотрицательно определенной, так как Y(i Q)-f Y* (i Й) 0 (n - порядок матрицы Y(>.) и Yq - вещественная симметричная матрица). Любой конечный полюс Ya(A) на мнимой оси i йо является простым, так как он совпадает с полюсом Y(;.). Кроме того, вычет в этом полюсе является неотрицательно определенным, так как [см. соотношение (4.36)]

res Y, (i Qo) = res Y (i g )/(Q2 4, 2 (4,37)

и res Y(i Qo) 0 . Здесь resY(>.i) означает вычет Y(>.) в ее полюсе