Свойства единичных элементов в особых точках

В точке Х=0 единичный элемент шредставляет собой емкость или индуктивность, как показано на рис. 1.10 а и б. В точке Я=оо элементы матрицы передачи ЕЭ принимают вид: A=D = 0, fi=±iZo, C=±i/Zo. Каскадно включенный четырехполюсник, имеющий такую матрицу, называется (по определению Каваками [4]) мнимым гиратором.

C=Y

О tL2

Рис. 1.10. Некоторые эквивалентные схемы единичных элементов на особых частотах: а) представление Z матрицы на нулевой частоте (А, = 0) в виде параллельной емкости; б) предстарление Y-матрицы, на н>левон частоте (А, = 0) в виде последовательной индуктивности; в) мнимый гиратор {к=оо); г) два развязанных двухполюсника (Я,= 1)

1.4. ТЕОРЕМА РИЧАРДСА

Основополагающей теоремой для цепей Ричардса является теорема Ричардса. Определим сопротивление Z(A,) на входе единичного элемента с волновым сопротивлением Zo, нагруженного, как показано на рис. 1.11, на сопротивление Zi(A,), определяемое рациональной, положительной, вещественной функцией. Сопротивление Z(X) можно представить в виде:

Z {Ц = Z, [Х Z, + Z, {X)]l[Z, Ч- Х Zi (X)]. (1.7)

Функция Z{X) рациональна, если функция Zi{X) также рациональна. Кроме того, Z{X) - функция положительная вещественная, так как она представлена в виде выражения, обратного сумме

двух положительных вещественных функций. Теорема Ричардса утверждает, что положительную вещественную функцию Z{X) всегда можно реализовать в виде, показанном на рис. 1.11, где Zi(X), как и ранее, положительная вещественная функция со степенью, не превышающей степень Z{X). В точке Х=\ ур-ние (1.7) принимает вид Z(l)=Zo. Таким образом,

Zi(?.) = Z(1)[Z(?.) -?.Z(1)]/[Z(1) -?.Z(?.)]. (1.8)

Существует несколько способов доказательства того, что функция Zi{X) -положительная вещественная. Здесь приводится только одно доказательство с использованием коэффициента отражения (см. также работу Янга [5]). Коэффициент отражения от входного сопротивления Z{X) равен

S(X) = [Z{X)-R]i[Z{X)R], (1.9)

Рис. 1 и. Схема, поясняющая вывод теоремы Ричардса

где R - положительная постоянная, равная величине сопроттивле-ния источника. Здесь S является линейным преобразованием Z; при этом мнимая ось плоскости Z отображается на единичную окружность в плоскости S, а правая полуплоскость Z отображается на внутренность этого круга. Это приводит к следующей теореме.

Теорема 1.1. Функция Z(A) - положительная вещественная (и рациональная, если не определена иначе), если и только есл.и: 1) S(А.) - вещественная, рациональная функция и 2) 5(?):1

для Re

Следствие 1.1. Функция Z(X) - положительная вещественная, если п только если: 1) S{X) - вещественная рациональная функция, 2) S (А,) регулярна для Re А,0 и 3) S(iQ]<l для ?,= iQ.

Выражение для коэффициента отражения Si{X) от Zi{X) для Re=Z(l)npHHHMaeT вид

S,(X)S{X)(l +Х)/{1-Х).

(1.10)

Здесь Si{X) является регулярной функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси X, так как единственной возможной нерегулярностью является полюс в точке А,= 1, который сокращается с нулем S(X). Кроме того, Si(i Q) = S(i Q) 1. Следовательно, Si{X) удовлетворяет условиям приведенного выше следствия 1.1, и Zi{X) является положительной вещественной функцией. Степень Si{X) не выше степени S{X). Если S{X) имеет полюс в точке Х= -1, множитель (1-ЬЛ) сокращается и степень Si{X) становится на единицу ниже, чем степень S(X). Это будет в том случае, когда Z{l)+Z{-1)=0. Тот же самый результат справедлив для проводимостей.

Теорема 1.2. Если W(X) - положительная вещественная функция, то

W{X)Wil) lW{X)-XW{l)]/[W(\)-XW(X)]

(1.11)

тоже положительная вещественная функция, имеющая ту же степень, что и W{X), за исключением случая, когда W{l) + W{-1)=0. В этом случае, Wi{X) имеет степень на единицу меньше, чем W{X).

Теорема 1.3. Реактансную функцию степени п можно реализовать как входной иммиганс п каскадно включенных единичных элементов, короткозамкнутых или разомкнутых на дальнем конце. Икено [2] назвал такие цепи (рис. 1.12) цепями стержневой структуры или стержневого типа.

Рис. 1 12. Две цепи стержневой структуры, эквивалентные LC-резонато-рам. Qh=\ILC

1.5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Тождества Куроды

Каждые две схемы, приведенные в любой из строк от Л до F табл. 1.1, являются эквивалентными четырехполюсниками [6-8]. Эквивалентность выполняется и для отрицательных значений элементов, кроме случая, когда <р = 0. Убедиться в этом можно сравнив матрицы передачи соответствующих схем. Емкости П-звена строки Е в табл. 1.1 и индуктивности Т-звена строки F тесно связаны между собой (т. е. имеют коэффициент связи, равный 1). Следовательно, эти звенья являются звеньями Бруне . Звеном

т а б л и ц ii

Тождества Куроды

Исходная цепь

Экдива.-1ент

с Z,

ф О

L In

- с 0 оТ . о

с--Т-ЛЛ -

ZqC tLC

о- о

I-I-LC

Бруне обычно называют, в соответствии с работой Бруне [9], взаимный четырехполюсник без потерь второго порядка, имеющий пару комплексно-сопряженных нулей передачи на мнимой оси в плоскости комплексной частотной переменной (рис. 1.13).

Рис 1 13. Три эквивалентных

формы звеньев Бруне: а) L L. = M\ L, + L.~2M = = L>0, б) LiL2+UU+LiU = = 0, L,--l2=b>0; в) ССг-г -ЬС2Сз-ЬСзС,=0, С,--С2 = = 00

Перестановка единичного элемента и звенья Бруне

Приведенные выше тождества можно дополнить эквивалентными схемами, показанными на рис. 1.14, так РУне всегда можно переместить на другую сторону ЕЭ [10]. Матрица передачи звена Бруне имеет вид;

QILX

= 1/n, Q2LC = m + n-2 = (m- \У/т

(1.12)

(1.13)

о-, о о о-) /-0

0 ~ 0 Ц:С о-i-о--о о--о-i-о

Рис. 1 14. Эквивалентные преобразования каскадного соединения звена Бруне и единичного элемента

Условия физической реализуемости схемы Ребуют,чтобь1 выполнялось L, СО. В предельном случае, когда j = \ от ходимо чтобы m = n=l. За исключением этого случая bio может быть положительным или отрицательным, при этом т и п имеют

цепь, представленная на рис. 1.14а, имеет матрицу передачи:

(l-X)/2(fi0+)

(1.14)

где Kc-=l/Zo. Матрицу передачи Р=РцРь цепи, представленной на рис. 1.146, можно получить перестановкой элементов А к D матрицы F и заменой (добавлением штрихов в обозначениях) параметров цепи.

Рассмотрим возможность выполнения соотношения F = FuFu = = Р Рб. Необходимыми и достаточными условиями для этого являются:

Q,-=- (1.15а)

Z-\-L= Z, + L, y + C=F, + C (1.156)

mZmZo, пГ;-пУо, (1.15в)

Zo Z; = [mZ, + Q2(Zo + L)] /[nY, + (у (115)

где yo=l/Zo. Эти уравнения являются инвариантами представленного преобразования. Необходимо теперь доказать физическую реализуемость Гь и F . Так как тип имеют тот же знак что и Q\ условие (1.15г) показывает, что Zo положительно. Очевидно, что det F = 1 и так как det Рь det F = det F det Рь = 1, то из этого следует, что det Рь= 1, i. е. т= 1/п и Qo-C (m-l)2/m. Условия (1.15а) и (1.15п) показывают, что йо и т имеют одинаковые знаки, поэтому LC должно быть не отрицательным. Отсюда, если L<0, то С<0 и выражения (1.15) дают Zo>Zo, Уо>Уо, что противоречит соотношению ro=l/Zo. Следовательно, и что и требовалось доказать.

Из ур-ний (1.15а) -(1.15г) имеем:

(т - 1) (т - I) [mZo + (Zo -f L)] = - m Zo (Zo + L - m Zo) {Y, +

4-C-nY,), (1.16)

где Zo+L-mZo и Yo+C-nYo суть инварианты преобразования. С помощью ур-ния (1.16) ра-осмотрим свойства отрицательных элементов. Условие Zo-l-LmiZo<0 - необходимое и достаточное, как для выполнения условия т>!, так и условия т>1.

Индуктивности L2=L/{l-m) и L2=iZ-7(l-/n) - последовательные индуктивности, присоединенные к единичным элементам, если звенья Бруне имеют Т-структуру. При введенных обозначениях приведенное выше условие принимает вид: если 2<0 и Zo+L2>0, то >L2<Z0 и Zo + L2>0, и наоборот. Аналогично имеют место следующие соотношения между отрицательными элементами для Й2д>0:

) 4> -2>0->Z;> -L2>0, (m>l, m>l);

2) -Lj>Z -> -C;>F;, (m>], m<l);

3) -C2>yo-b2>Z;, (m<l, m>l);

4) У >-Сг>Оч->k;>-C2>0, (m<l, m<l),

где C2=C/(1-n) и Сг = С/{\-п) - емкости П-звена типа, показанного на рис. 1.13s.

Из ур-ний (1.15а) -1.15г) следует, что при т = т=\ имеем предельный случай: L = /.=C = C = 0. Но согласно ур-нию (1.16) получаем, что т=1 или т=1, если Zo + L-mZoO или Уо+С- -лУо=0. Таким образом, имеем следующие соотношения:

1) L = o, co->z; + l; = 0;

2) ЬФО, с = Оч->у;+с; = 0;

3) 2 + L2 = 0 4->L = 0(C=0);

4) Го + Са-Оч-../.0(С= 0).

Рис. 1 15. Петля Икено

Случаи 1 и 2 соответствуют строкам Е и F табл. 1.1. Другие тождества в этой таблице относятся к вырожденным случаям, когда Qo=0 или оо [11]. -Эти преобразования можно рассмагривать как обобщение метода перемещения нулей передачи Ямамото [12].

Петля Икено

Икено [2, 13] показал, что схему, приведенную на рис. 1.14, можно реализовать, как показано на рис. 1.15, четырьмя единичными элементами в петле, если

(1-m)Zo + L<0 или Q2<-1.(1.17)

Первое условие эквивалентно

L,<0, Zo + L2>0, (1.18)

где Lz соответствует обозначениям, принятым на рис. 1.136. Проводимость передачи схемы Yi2 есть сумма проводимости передачи единичного элемента в нижней части схемы (см. рис. 1.16) и проводимости передачи цепи стержневого типа y i2 в верхней части. Проводимость передачи У 12= = \/В , где В предст1зляет S-элемент матрицы передачи цепи стержневого типа.

Элемент В имеет вид: В = (l-XfP(Х), где Р{К) - полином от 1 с положительными коэффициентами. В точке 1== 1 имеем У12(Я)/(1->.2) =-Yi. Это выражение должно равняться вы-

ражению (\-к) 1В(Х)\к=\ для исходной схемы, так что:

У, = (1 + Q2) / [mZo + Q2(Zo + L)]. (1.19)

Из выражений для: 1) входной проводимости в точке А,= 1, 2) общей емкости в точке К = 0 и 3) проводимости передачи в точке Я = 0 соответственно имеем:

Y, + Y2 = Y У + ПП; (-20)

Уз + П = С, r-fKgC; (1.21)

nY,Y,-{Y2YJY,) = nY. (1.22)

Из этих соотношений получаем

Y,= Y2C/il-n)Y,- Гз = ПС7(1- )У;. (1-23)

С помощью выражений, сгруппированных справа или слева в соотношениях (1.20), (1.21) и (1.23), можем определить волновые проводимости У по параметрам схемы, представленной на рис. 1.14а или б. И наоборот, параметры схемы можно определить через проводимости У. Выражение для Qo имеет вид:

= (У, У, Уз + У Уз У, + Уз У4 Y, + У. У, Y,)I{Y, Y, - Y Y,) Y,.

БИЬ.>ИОГЬНА X ИР Э