Х=к,. Если значение Х = 0 является полюсом Y(), тогда это значение является также полюсом Ya() и res Уа(0) = res У(0) Оп-С другой стороны, Ya(oo)=On. Из этого следует положительность и вещественность УаЩ. Кроме того, если Y() симметричная матрица, то Yo и Ya() также симметричны. Можно к тому же показать, что

2а (Я) = (У, \Х Уо - о, Y- {К)] I {К - о1)

(4.38)

также положительная вещественная симметричная матрица, так

как Т.а{%) получается из У а подстановкой в соотношение (4 36)

Y-i(>.) и Y-Iq вместо Y(>.) и Yo соответственно. Кроме того, Т.а{к) является неособенной матрицей, так как

{К) = а у-о [IY (1) - а. У,] Y {Х)1{К - al), (4.39)

а матрицы Y-(a), Y-o и кУ{Х)~аоУо являются неособенными по

условию. Таким образом, существует матрица Z-*a(A) =Y(A), которая положительна, вещественна и симметрична

Положим теперь, что матрица Ун{Х) - положительная вещественная и симметричная. Из соотношений (4.35) и (4.38) получим

Y;,(X) = Y ()-(XYo/0o),

(4.40)

где оба члена справа имеют простой полюс в бесконечност С учетом соотношения (4.40) и предыдущих рассуждений следует, что Уя{Х) удовлетворяет всем необходимым и достаточным условиям, за исключением условий для вычета в бесконечности. Поэтому достаточно показать, используя для этой цели соотношения (4.38) и (4 40), что

res Y (оо) = К ( Yq- - а. А )]- -(Yo/ao) =

= (Y-aoA

-n-1

(4.41)

может быть положительно определенным. Здесь А-*оо обозначает вычет Y-i(?.) в бесконечности. Преобразуя правую часть соотношения (4.41) в квадратичную форму с произвольным вещественным постоянным вектором х с п составляющими, получим

X у, {К

-(ToYo) YoX=y(A,

(ToYo)- у,

(4.42)

где у = Yox - вещественней постоянный вектор с п составляющими. Напомним, что если вещественная симметричная матрица К является положительно определенной, то обратная матрица К~* также будет вещественной, симметричной и положительно определенной. Поэтому необходимо только исследовать, является ли матрица А, -aoYo симметричной и неотрицательно определенной. Непосредственно видно, что матрица Аоо-aoYo является симмет-

ричной, так как сто - скаляр, а Yo и Аоо - симметричные матрицы, что следует из симметрии Y()

Рассмотрим теперь положительную вещественную симметричную матрицу Y() и произвольный вещественный постоянный /г-вектор z. Обозначив

получим

XQ(k) = Iz у {X)z = z ХУ iX)z,

г (А - Сто Yo) Z = z ?i Y ()z - z4 Y (Я) z

= QWx= -Q()

(4.43)

(4.44)

Отсюда следует, что Q(a)=zY(/.)z - положительная скалярная функция, так как У{Х) -положительная вещественная матрица. С другой стороны, для любой положительной вещественной скалярной функции {s) согласно теореме Пика [48] должно выполняться соотношение {&\)&г{&г) при S2>Si>0. Кроме того, согласно этой теореме lF(s) = l/sC и С>0, если sW{si)=s-2w{г). Этот последний случай соответствует особенной матрице ctoY(cto) - -ХУ{Х), что противоречит исходным условиям (см. формулировку теоремы). Поэтому величины, входящие в соотношения (4.44), суть положительно определенные при 0<сто<оо и это подтверждает, что Ун(Х) в соотношении (4.35) - положительная вещественная симметричная матрица.

Следствие I. Степень матрицы Ун{Х) в соотношении (4.35) равна или меньше степени матрицы Y(A,). Если

Y((To) + Y(-(To) = 0 ,

(4.45)

то степень матрицы Ун{Х) меньше степени матрицы Y на п, где /г - порядок неособенной положительной вещественной симметричной матрицы У{Х).

Доказательство. Рассматривая выражение (4.35) для Уп{Х), можно установить, что сто-X является общим множителем для числителя и знаменателя матрицы Ун{Х). Однако, если не производить никаких сокращений, то ХУ{Х) имеег наибольшую степень среди выражений в правой части соотношения (4 35), и эта степень больше степени У{Х) на п. Таким образом, степень Yr(/ ) обычно равна степени У{Х). Но если четная часть У{Х) удовлетворяет условию (4.45), тогда в Ун{Х) сокращается также и множитель Оо+Х, а степень Ук{Х) становится меньше степени У{X) на п.

Следствие 2. Если Y() в соотношении (4.35) является функцией Фостера, то Ук{Х) также функция Фостера и ее степень меньше на п степени Y().

Доказательство следует непосредственно, так как из условия Y(A.)+Y(-a)=0 получаем Уд(л) + Уя(-л) =0

Матричная теорема Ричардса впервые была представлена в работе Баярда [49], причем доказательства ее было основано на

использовании ограниченных вещественных коэффициентов рассеяния. Изложенное выше доказательство приведено в работе Саито [50], а обобщение на случай невзаимных цепей рассмотрено в работе Ньюкомба [51].

Применение каскадного синтеза к цепям с многопроводными линиями

Вспомним уравнения передачи, заданные соотношениями (4.15), где и и I - векторы напряжений и токов проводников на входном конце, а Uo и 1о - соответствующие векторы на приемном

Рис. 4 19. Каскадное выделение многопроводной линии с матрицей волновых проводимостей Y,(l) из заданной матрицы входной проводимости Y,(X) Матрица Y(1) соответствует остающейся цепи

(4.46)

(4.47)

конце линии. Чтобы получить выражение, подобное выражению (4.35) для Yr{K), положим I = Ys()U и Lo=\i{X)Vo (рис. 4.19). Тогда получаем

У ДЯ) = [У, (Я) + я G] [G + я у, (Я)]- G

или, разрешив (4.46) относительно У;(Я),

У, (X) = G[G~X У, (Я)]- [У, (Я) - G Я].

Чтобы установить соответствие между в соотношении

(4.47) и Ул(Я) в соотношении (4.35), полагаем

У, (Я) = У (Я), G = У (ао), Сто = 1 (4-48)

Тогда из соотношения (4.46) и рис. 4.19 следует, что условие 00=1 соответствует условию

G = y,(l) = y(l), (4.49)

где G -матрица волновых проводимостей многопроводной линии. Поэтому может быть сделан вывод, что если задана неособенная положительная вещественная симметричная матрица \{К) и связанная с ней неособенная гипердоминантная матрица У(1), то можно выделить из \{К) звено многопроводной линии (МЭ) с матрицей волновых проводимостей У(1). При этом оставшаяся после выделения матрица Ул(Я) будет согласно матричной теореме Ричардса [50] положительной вещественной и симметричной. Кроме того, если \{К) является функцией Фостера, то тогда, согласно следствию 2, степень матрицы понижается. Такое понижение степени очень важно, так как обеспечивает сходимость процесса синтеза.

При синтезе с использованием теоремы Ричардса могут возникнуть трудности, если матрица У(Л,) или матрица аоУо-ЯУ(Л)

особенная; это означает, что матрицы Уя(Я) не существует. Однако в работе Ооно [52] показано, что всегда существует неособенная вещественная матрица В порядка п такая, что выполняется соотношение

W = Bdiag(w, 0 ,)В (4.50)

для положительной вещественной матрицы W порядка п и ранга г. Здесь W - неособенная положительная вещественная матрица порядка г и Оп-г - нулевая матрица порядка п-г.

Если матрица У(Я) имеет ранг г, то, используя соотношение (4.50), где вместо w подставлена матрица У(Я), преобразуем ее к неособенной положитс-льной вещественной матрице у (к), к которой уже может быть применена теорема Ричардса. Так как матрица В неособенная вещественная и постоянная, то ее можно интерпретировать в виде многообмоточного идеального трансформатора, представляющего соединение обычных идеальных трансформаторов с двумя входами, в котором п~г пар выходных зажимов разомкнуты, а оставшиеся выходные пары зажимов связаны с цепью, описываемой матрицей \{)к.

Во втором случае, когда особенной является матрица ооУ-к\{к), требуется более сложная процедура синтеза. Наиболее простой подход - проводить синтез для У~(-). если матрица аоУ(Я)-к\о неособенная. В этом случае матрица У-я существует. Ниже рассмотрен более общий подход. Для удобства положим, что У (к) неособенная положительная вещесгвенная симметричная матрица. Сначала выделим из У(Я) полюс в начале координат. Тогда матрица

\{к) = \{к)~{\/к)

(4.51)

положительная, вещественная, симметричная и не имеет полюсов в начале координат. Здесь Aq - неотрицательно определенная и симметричная матрица вычетов в начале координат. Таким образом, если матрица аоУо-лУ(л) особенная, то особенной будет и матрица

а\{а,)~кУ{к) = а,У,~к\{к).

(4.52)

Дальнейшее рассмотрение (см [53]) показывает, что У (к) будет особенной матрицей, если матрица аоУо-лУ(Я) также особенная (см. также доказательство Ньюкомба в работе [54]). Другими

л л л

словами, У(/.) - особенная матрица, если матрица аоУ{csq)-кУ{к) - особенная, и наоборот, матрица аоУ(ао)-кУ{к) - неособенная,

если неособенна матрица \{к), так как матрица \{к) является

аналитической в начале координат. Особенная положительная ве-

щественная матрица Y(X) может быть преобразована к неособен-

ной положительной вещественной матрице у (к), аналитической