Подстановка полученных выражений в ур-ние (1.14) показывает, что рассматриваемые цепи имеют одинаковые матрицы. Отсюда вытекает достаточность использования левосторонних (а следовательно, и правосторонних) групп приведенных выше уравнений.

Из ур-ния (1.23) получаем, что для выполнения условия Уз>0, необходимо выполнение условий: п<1 и п<1, которые приводят к двум случаям: 1)т>1, т>1 (Q2o>0) и 2) т<0, т<0 (Q2o<0). В первом случае эти условия достаточны, так как из ур-ния (1.19) получаем Уо>У1>0 и Уо>У1>0 и тогда из ур-ння (1.20) следует, что У2>0, У4>0. Как уже было показано, случай т>1 и т>1 приводит к неравенству (\-m)Zo +L<0.

Во втором случае условие Qo< -1 является необходимым и достаточным для того, чтобы Уо>У1>0 и Уо>У1>0. Следовательно, условия, сформулированные в начале этого параграфа, суть необходимые и достаточные условия физической реализуемости петли Икено.

Примевение лестничных схем

Используя фильтры на сосредоточенных элементах в качестве прототипов, можно легко рассчитать фильтры на линиях передачи, выполнив преобразования, описанные выше (сн. также работу [6]), На рис. 1.16 показан типичный фильтр нижних частот с нулем передачи в точке Q = oo. Он может рассматриваться как цепь на

Т Т Тс

Рис. 1.16. Преобразование фильтра нижних частот: а) прототип; 0) прототип, дополненный внешними единичными элементами; в) преобразованная схема; г) коаксиальная реализация

а) я,

7L А 7LJ 7L 2 7L

Секция Вруне

Секция Бруне

линиях передачи с такими же характеристиками в области частот = №7/. Добавим соответствующее число единичных элементов с волновым сопротивлением Zq-X Ом в начале и в конец схемы, как показано на рнс. 1.166. Добавление единичных элементов не изменит характеристики затухания, но вызовет дополнительный фазовый сдвиг. Применяя тождества Л и Г (табл. 1.1), можно все последовательные индуктивности заменить параллельными емкостями, как показано на рис. 1.16в.

Типичный фильтр нижних частот, имеющий нули передачи на конеч1Ных частотах и в точке Q = oo, показан на рис. 1.17а. Добавляя единичные элементы с волновым сопрагивление/м 1 Ом, ИlCпOvьзyя тождества Л, Г и Т/л Е (табл. 1.1), получим схе- - му, lпpвдcтa)Bveинyю а рис. 1.176. Последовательные индуктивности звеньев Бруне М0Ж1Н0 преобразовать с помощью тождества Г в параллельные ©MiKOCTH, включенные с противололожной стороны единичных элементов. Окончательная схема имеет вид, П01казан1ный на рис. 1.17в. Последняя процедура, однако, не всегда ваэможяа, пасколыюу одна из последовательных индук-

тйвнссгей звена Бруне - отрицательна. Для того чтобы после применения тождества Г волновое сопративление ЕЭ было положи-тел1:1ным, необходимо, чтобы ф>0, т. е. Zo-bL>0. Кроме того, получающиеся OTpnnaTevibHbie емкости должны ко.мпеисироваться по-ложительнььми емкостями. Если удовлетворяется только первое условие, то можно использовать петли Икано.

В примерах, приведенных выше, можно было добавлять любое число единичных элементов на входе и выходе фильтров-прототипов. При добавлении единичных элементов только на выходе входное сопротивление не изменяется. Следовательно, метод можно применить к синтезу двухполюсников или фильтров с заданной входной проводимостью [14]. В схеме, приведенной на рис. 1.16, все последовательные индуктивности можно заменить параллельными шлейфами н, если фильтр-прототип симметричен, то фильтр, образованный отрезками линий передачи, также симметричен. Цепь, дуальную цепи, показанной на рис. 1.16а, можно привести к структуре,- имеющей только последовательные шлейфы и обладающей физ.ической симметрией. Можно получить структуру только с па-

Рис. 1.17 Фильтр нижних частот: а) прототип; б) преобразованная схема; в) конечный вид схемы; г) коаксиальная реализация

раллельными шлейфами при добавлении, например, одного ЕЭ nai входе и трех ЕЭ на выходе; при этом окончательная схема не будет симметричной. Следовательно, правильный выбор прототипа фильтра и соответствующее применение метода преобразования имеет большое значение.

Полоснопропускающие фильтры и фильтры верхних частот-можно рассматривать подобным образом, но они требуют использования тождеств Б п В (табл. 1.1). Поэтому необходимо иметь возможность реализовать идеальные трансформаторы, если толькО отношение сопротивлений нельзя сделать отличающимся от единицы. Для этой цели можно использовать связанные линии передачи [15-18] (см. также гл. 6).

Недостаток метода, описанного выше, состоит в том, что единичные элементы служат только как соединительные элементы, обеспечивая требуемую для реализуемости конфигурацию схем на линиях передачи, но не участвуют в формировании характеристик, фильтров.

Элементы иммитансных матриц имеют в данном случае вид:

= а/с, = die, Z,2 = {1- VY- fic; (1 -27}

Yn = dlb, Y,2 = alb, y. - (I Ky f/b. (1.28>

F.i вида этих выражений следует, что схема является нормальной.

Рассмотрим класс схем, состоящих из четырехполюсников, соединенных каскадно или параллельно. Примером таких схем могут служить схемы, показа{1Ные на рис. 1.19а. Заменяя каждый

Рис. 1.19. Схема, составленная из четырехполюсников, соединенных параллельно: а) схема; б) эквивалентное представление; в) линейный граф

1.6. НОРМАЛЬНЫЕ ЦЕПИ

Общие сведения

Понятие нормальные цепи можно обобщить на четырехполюсники, имеющие передаточный иммитанс вида 1)2(А) = (1-А.)* X где V - есть положительное целое число или О, а/(Я) и g{k) -вещественные полиномы. Таких цепей, имеющих практическую ценность, очень много.

Рационо/1ь-ная схема

Роциона/tb-ная схема

Рис. 1.18. Схема, содержащая каскадно включенные единичные элементы

Рассмотрим четырехполюсник (рис. 1.18), состоящий из каскадного соединения единичных элементов и рациональных четырехполюсников (цепь будем называть рациональной, если она имеет-рациональную иммитансную матрицу). Матрица передачи такой цепи имеет форму:

Л В С D

а{Ц b (к) с{к) d{k) \

(1.25).

где V - число каскадно включенных единичных элементов; 1(к), а (к), Ь{к), с (к), d{k) - вещественные полиномы к. Из условия det F= 1 имеем:

a{k)d{k)-b{k)c{K) = {\-X}rf{k). 20

(1.26>

четырехполюсник, входящий в схему, отрезком (сегментом) линии получим линейный граф, для которого можно определить петли, пути, узлы и т. д. Число единичных элементов в петле или пути определяется как сумма v [см. ур-нпе (1.26)].

Покажем теперь, что если число единичных элементов в любой петле четное,то четырехполюсник будет нормальным.

Предположим, что если путь, соединяющий два отдельных узла, содержит четное или нечетное число единичных элементов, то любой другой путь, соединяющий эти два узла, также содержит четное или нечетное число единичных элементов соответственно. Тогда любой узел можно классифицировать как четный или нечетный в зависимости от числа единичных элементов в пути, соединяющем его с каким-либо произвольно выбранным узлом в качестве начала отсчета. Опорный узел считается четным.

Следовательно, любой путь, соединяющий два четных или два нечетных узла, содержит четное число единичных элементов, а путь, соединяющий четный и нечетный узлы, содержит нечетное число единичных элементов. Пронумеруем узлы так, чтобы первые т узлов были чет11ые, ч оставшиеся п-т узлов - нечетные. Схема может рассматриваться как цепь с п-входами, имеющая вход на каждом узле. Матрица проводимостей короткого замыкания схемы имеет вид:

}п - т.

(1.29).

q R211 R22

где элементы R,j являются рациональными матрицами, через q

обозначено выражение q{X){\-XY Записав, что Ru = (/Rii. получаем det Yn = 2 det R, где Rn и R - рациональные матрицы. Следовательно, det Yn - рациональная функция. Минор Aij являет-

ся рациональной функцией, если узлы i и / оба четные или оба нечетные, или иррациональной функцией, содержащей множитель (7(А,), если один из узлов четный, а другой - нечетный. Это показывает, что Z = Y-< имеет ту же форму, что Y . Если для схемы, рассматриваемой как цепь с двумя входами, узлы / и / приняты за входы 7 и 2, то для элементов матрицы холостого хода цепи имеем: Zii = Z, Z22=Z , , и Zi2 = Zij.

Необходимые условия для иммитансных матриц

Определим квадратичную форму иммитансной матрицы как

Q (X, у) = X + 2ху + у (1.30)

где X и у - вещественные переменные. Для выполнения условий причинности требуется, чтобы Q являлось аналитической функцией в правой полуплоскости р, а условия пассивности цепи требуют, чтобы Re QO в той же самой области.

Правая полуплоскость X соответствует правой полуплоскости р, за исключением точки Л=1, поэтому: 1) Q является аналитической функцией для значений Re Х>0 за исключением к=1, 2) Re QO для Re>.>0. Из условия 1) следует, что W.jCk) аналитичны в правой полуплоскости X, за исключением точки Х=\. Условие 2) эквивалентно условиям Re ГцО, Re WziO и Re WnReWzi- - [Re WizjO для ReA>0. Матрица, удовлетворяющая этим условиям, называется положительной. Известно, что матрица, обратная положительной матрице, также положительна. (Доказательства приведены в }чебни1ах по теории цепей, см. например [19]).

Так как Wn и W22 - положительные функции X, то W12 не может иметь полюсов в правой полуплоскости X. Следовательно, Wi2 должна быть аналитической в правой плоскости, за исключением точки Л=1, которая может быть точкой ветвления Wiz.

Полюсы на мнимой оси - простые, а вычеты кц, kss. и fei2 - вещественны и }довлетьоряют \словия 1122-/г120согласно требованию ReQO для ReX>0. При отсутствии потерь ReQ = 0 на мнимой оси, при этом Re W,;(i ti) =0. Следовательно, W,j{X) должна быть нечетной функцией, имеющей полюсы только на мнимой оси. Такие четырехполюсники называются нормальными реактансными четырехполюсниками.

Теорема 1.4 Для того чтобы W была иммитансной матрицей нормального реактансного четырехполюсника, необходимо выполнение следующих >С10вий:

1) Wn и W22 должны быть рациональными реактансными функциями К;

2) W]2 должна !1меть форму Wi2= Ci-Xf w, где ну - нечетная вещественная рациональная ф\нкция от /.;

3) полюсы Wi2 должны лежать только нл мнимой оси плоскости X и быть простыми; вычеты должны удовлетворять условию u;i2-г2,20.

Параметр W12 нормальной реактансной схемы не обязательно-равен О или оо в точке Х=оо, когда v - нечетное число. Во всяком случае из теоремы вытекает, что входной иммитанс нормального реактансного четырехполюсника, нагруженного на положительный вещественный иммитанс, всегда будет также положительным и вещественным, так как - Wi20 на .мнимой оси.

1.7. НОРМАЛЬНЫЕ РЕАКТАНСНЫЕ ЧЕГГЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Общие сведения

В соответствии с ур-нием (1.25) в.ходная проводимость нормального реактансного четырехполюсника, нагруженного на сопротивление 1 Ом (рис. 1.20), определяется выражением:

y(X) = (c + d)/(a + 6), (1.31)

представляющим собой положительную вещественную функцию от X. Необходимо теперь по заданной входной щроводимости получить матрицы четырехполюсника вформеур-ний (1 25) - ( .28). так чтобы для них удовлетвсрялись необходи мые условия теоре1МЫ 1.4.

о-о-

Рис 1 20 Нормальный реактивный четырехполюс м и к, нагруженный резистором

Теоремы о положительных вещественных функциях

Пусть

F(A) = ( 12+ AU2)/( l + >-l).

(1.32).

где Ui, 2, vi, V2 - вещественные четные полиномы от X.

Теорема 1.5 (см. Мията [20]). Для того чтобы Y{X), определяемая выражением (1.32), была положительной вещественной функцией, необходимо и достаточно, чтобы:

1) выражение Ui + U2 + Xvi + Xv2 являлось бы полиномом 1 урви-

2) выражение uiU2-XViU20 на мнимой оси X.

Следствие 1.1. Если Н(X) =и{Х)+XviX) - полином Гурвица, то u{X)IXv{X) и Xv{X)lu{X) - реактансные функции от X. Здесь и.{Х) и v{X) - четные полиномы от X.

Следствие 2. Если Y(l) в ур-нии (1.32) - положительная вещественная функция, то {Ui + XVi)l{U2 + XV2), (Ui + XV2)l{U2 + kV\) И

{u2 + Xvx)l{u\-\-Xv2) также положительные вещественные функции.

Следствие 3. Если У(Х) в ур-нии (1.32) - положительная вещественная функция, то UilXvu U2/XV2, U1JXV2, И2 .У1- реактансные-функции.