Следствие 3 требует, чтобы степени щ и %Vu а также иг и Умг и т. д. отличались на единицу (см. табл. 1.2). Оно также требует, чтобы нули Ыь аг, KVi и kv были не выше второго порядка.

Т А в л И Ц .- 12

Допустимые соотношения между степенями У(Л) и полиномов

*) Наибольшее возможное значение

Определение матрицы четырехполюсника по входной проводимости У(Л)

Метод определения матриц четырехполюсника такой же, как и для сосредоточенных схем, за исключением того, что нули P{X)=UiU2-kViV2 в точ/ках Х±\ можно реализовать без использования дополнительных множителей, даже если они нечетной кратности.

Другие нули нечетной кратности должны быть дополнены до получения их четности. Пусть Aq - точка в первом квадранте л-плоскости. Если Р{а,) имеет нуль при l=iko, то точки Х=±Л,о и ±1о образуют совокупность нулей Р{1), симметричных относительно осей координат.

Записывая полшом Гурвица в виде четной и нечетной частей Н(Ц (l + h)) (к+м) =и{Х)+kv{l) и умножая числитель и знаменатель Y{X) на Я(Я), имеем:

u+Xv

(1.33)

u + Xv

P (X) = u\u - X v[ vH {X) H(-X)P(X), (1.34)

где иI, u2, vl, y2 - четные Jтoлинoмы. Как видно, кратность нулей Р{Х) при Х - ±Хо и ±>.о на единицу больше, чем кратность нулей Р{Х). Любые вещественные нули Р{Х) можно дополнить таким же образом, взяв Н{Х)=Х+Хо- Любой мнимый нуль имеет четную кратность, так как Р(Х) является вещественной и неотрицательной функцией на мнимой оси.

Предположим, что Y{X) дополнена таким образом, что нули Р{Х) имеют четную кратнтеть, за исключением нулей в А,= ±1.

Теорема 1.5 справедлива для проводимостей, дополненных любыми полиномами Гурвица таким образом, как сделано в ур-нии (1.33). Элементы иммитансной матрицы нормального реактаноного четырехполюсника являются нечетными функциями X. Следовательно: 1) а, d -четные, Ь, с - нечетные, когда / - четное; 2) а, - нечетные; Ь, с - четные, когда / -нечетное. Если проводимость Y{X) = {u2 + XV2)liui + Xvi) должна быть реализована в виде, показанном на рис. 1.20, то из приведенных выше соотношений и ур-ния (1.31) имеем:

U2 = d, Xvi = b, X t . = с, когда / - четное;

i = а,

(1.35а) (1.356)

= b, 2 = с, f 1 = а, XVi = d, когда / - нечетное. Подставляя эти соотношения в ур-ние (1.26), получаем

Р{Х) = u,U2-VviV = {1 -Xff, когда /-четное; (1-36а>

- Р (Х.) = Ух У2 - i 2 = (1 - f - / - нечетное. (1.366)

Так как считается, что все нули Р{Х), за исключением нулей в точках Х=±1, имеют четную кратность, требование, чтобы / было четным или нечетным полиномом удовлетворено. Элементы матрицы Y могут быть определены в виде

Yii=-u/XVj, Y = ujXVi

У12 -=-{u,u,-XH<,v,f iXv,

когда / - четное; (1.37)

22 = VjUi

когда / - нечетное. (1.38)

Гц = X V2/U1, Y2 Y, = -{XVi У2 - 1 2)/ i

Условия 1) и 2) теоремы (1.4) удовлетворены. Из ур-ний (1.37) и (1.38) получаем:

Гц - = ili fSTHoe; (1.39а)

Yu У22 - ?2 = г/ ! f ~ нечетное. (1.396)

Так как нули i, Vi лежат на мнимой оси и кратность не превышает двух, полюсы Y\2 лежат также на мнимой оси и их кратность не превышает двух. Следовательно, полюсы F12 простые и лежат на мнимой оси. Это дает возможность записать, что

kn 22 -kiXi Q,) (У У22 - УУ /.=- й если / - четное, то

{X - i Qif vjvi \i=i a = { - i ,) >- V2lui\i=, aJX - i Q.) uJX Vi\i=: q> ) ,

поскольку XVilui и Ui/Ui - реактансные функции.

Случай, когда / - нечетное, рассматривается таким же образом. Следовательно, knkss.-kizQ, что и требовалось доказать.

Условия вычетов рассмотрим более подробно. Если F12 имеет полюс в точке Х= \ йг, то Vi для четного /, например, имеет множи-

(1.40)

тель {X+q\), где m=l или 2. Если т=\, ур-ние (1.39а) приводит к условию 1122-212 = 0. Если 171 = 2, то общий множитель (k+Qt) в числителе и знаменателе F,j может быть сокращен, так как полюс должен быть простым. Это значит, что Ui, Uz, kVi имеют нули в точке i й а kvz не имеет.

Следовательно, ур-ние (1 39а) приводит к условию fei 122-i2>0 Если Fi2 не имеет полюса в точке A = iQ то Vi имеет множитель степени т = 0, 1, или 2. Эти три случая, а также случай нечетногоf, могут быть рассмотрены аналогичным образом.

Пусть п означает кратность множителя на который

нужно сократить числитель и знаменатель F12 для того, чтобы параметр Fi2 стал несокращаемым. Тогда полученные результаты можно представить в следующей краткой форме:

1) Yi2 = oo: а) полюс компактный - п = 0; б) полюс некомпактный - п=1;

2) Уцфоо: а) Гиоо, 2200 - п = 0;

б) одна из величин У и, ¥22=°° другая оо - п=1;

в) Yii=Y22 = oo - п = 2.

Существуют случаи, когда общий множитель (l+Q\) выносится из всех выражений Yn, Y22. и F12. Следовательно, приведение Fii, У22 и У12 к наименьшему общему знаменателю является недостаточным для того, чтобы числитель 12 был идентичен выражению - (1-л) f{X). Преобразование матрицы передачи является наиболее удобным способом нахождения множителя, который исключен из матрицы проводимости. Матрицы проводимости из ур-ний (1.37) и (1.38) выражены именно в такой форме и ради удобства сокращения производить не следует, даже если это возможно.

Можно дополнить Y выражением (1+Х)Н{Х), где - положительное целое число или О, а Я (л) - полином Гурвица.

Следовательно, матрицу четырехполюсника нельзя однозначно определить по У(л); дополнение (И-л)** эквивалентно введению единичных элементов, действующих как цепи задержки.

Матрица четырехполюсника определяется однозначно, с точностью до знака У12, если совместно с У(л) задано выражение

il 2-ЛУ

Степень матрицы передачи

Степень матрицы передачи определяется как наивысшая из сте пеней любого из полиномов а, Ь, с, d Она равна степени выражения Y{k) = (a-rb)l(cd) при условии, что сокращение общих мно жителей числителя и знаменателя Y(k) не производилось. Отноше нне входной мощности к выходной определяется выражением

( 1 + uf - {у -t-4 ( 1 Uj - vi Vi)

(g -f- df - (6 + cf 4(1 - /2

(1.41)

Кратность полюса функции PoJPl определяется как величина, вдвое большая кратности полюса затухания или нуля передачи. Если только одна из функций ui, Ыг, Afi и kv имеет самую высокую степень, то кратность полюса затухания при к = оо равна этой степени минус половина степени выражения i 2-/12. Если две функции из ии 2, /.1 и Xv2 имеют самую высшую степень, то это должны быть функции 1 и 2 пли Ivi и }Лг и кратность полюса затухания при л=оо равна нулю. Таким образом, кратность полюса затухания в точке Л=оо равна разнице между степенью матрицы передачи и степенью выражения (\-}?yf. Пусть кратность полюса затухания в точке Л=оо есть г. тогда n = v-{-q-{-r, где п - степень матрицы передачи, ад - степень от f{k).

Кратность полюса затухания в конечной точке определяется как кратность нулей выражения [Р(>)] = (1-v) /. В этом случае п в выражениях (1.40) представляет ту часть кратности полюса затухания в точке X = \Q.i, которая распределена между полюсами функций У , У22 и У12, а оставшаяся часть равна кратности нулей У12, когда Уи, У22 и У,2 представлены в приведенной (общие множители сокращены) форме. То же самое справедливо при }.= оо.

1.8. СИНТЕЗ НОРМАЛЬНЫХ РЕАКТАНСНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Преобразования выражения при использовании процедуры Ричардса

Условия 1, 2, 3 теоремы 1.4 являются достаточными для рациональных четырехполюсников без потерь любого вида. Для доказательства можно применить процедуру Ричардса к У (л) (рис 1 21, [21]).

Рис 1 21 Каноническая форма нормального реактансного четырехпо люсиика

ацип вольная схема.

Пусть

Г(Л) = ( 2+У2)/( 1 + 1), 1 2-12 = (1-ТЛ V>1.

Подстановка (142) в (1 11) дает

Выражения в круглых скобках в правой части имеют простые нули при Я= ± 1, так как они являются четными функциями, и

Щ(1) - г= У(}) = П> (1-45)

(1.42) (1.43)

(1.44)

однако они не имеют других общих нулей (доказательство опущено).

Следовательно,

u = (U2-Y\Xv)/{\-X), Xv = X{v-Y,u,)l(l-X) K = {yoV,->v,)/{l-X)Y Xv[ = X{Y,v,~U2)l{l-X)Y,

u\- x u: u: = ( - x u2)/(i

(1.46)

(1.47)

(1.48)

= (l-x)

.-1/2

Zo= J/Ко-

(1.49)

Таким образом, процедура Ричардса уменьшает степень множителя {\-Х) в правой части ур-ния (1.43) на единицу. Это можно также показать с помощью матрицы передачи. Применение метода Ричардса эквивалентно умножению исходной матрицы передачи слева на

1 -Z,X ~Y,{X) 1

Метод синтеза

Когда даны Y(I) и (1-/v) Р(а), v раз повторенное применение процедуры Ричардса преобразует выражение (\~-Xyi{X) в выражение f{X), а оставшаяся часть реализуется как рациональный четырехполюсник. Следовательно, вся цепь будет иметь вид, показанный на рис. 1.21. Если 1(Х) имеет нули на мнимой оси, рациональный четырехполюсник можно реализовать лестничной схемой, а единичные элементы могут быть распределены между рациональными звеньями лестничной схемы.

Цени стержневого типа

Сначала предположим, что \{Х) - вещественная постоянная. Не нарушая общности рассуждений, можно принять /(л) = 1. Тогда выражения (1.37) принимают вид:

Ги(?.)=- 2АУ1, У22 = 1Ау1, Уl2 = -(l-УДUl. (1.50) Цепь, составленная только из каскадно включенных единичных элементов, согласно терминологии, введенной Икено, называется цепью стержневой структуры. Она известна также как четвертьволновый трансформатор сопротивлений [22-24]. Если степень У равна V, то v раз повторенная процедура Ричардса приводит эту проводимость к вещественной постоянной, в частности равной I, если У(0) = 1,т. е. и,(0) = 2(0) = 1, а вычеты У,; в точке л=0 удовлетворяют условию kn = k22.=-k\2. Чстырехполюсники стержневого Типа обладают также следующими свойствами.

Свойство I.

EvY{X)=r{\-Xr/iu,-v,y (1-51)

Так как deg y=v, то четная часть У(Х) никогда не имеет нуля в точке л = оо. Следовательно, Ev Y{X) имеет нули только в точках Я,= ±1.То же самое справедливо для EvZ(a) =Ev [1/У(л)].

Свойство 2. У(Х) не имеет ни нулей, ни полюсов на мнимой оси.

Свойство 3. Полюсы Yij должны быть компактными, так как У{Х)Ф0 и ЕуУ(Х)0 на мнимой оси

Свойство 4. Поскольку deg y=v, то У\2{°о)ф0 [для других случаев, см. табл. 1.2 и выражение (1-40)].

Необходимые и достаточные условия реализуемости цепи стержневого типа можно записать в любой из следующих форм:

1. ui 2 ->У12 = (1 -?)\ i(0) = 2(0) = 1, degY{X)==v.

2. У(Х)фоо на оси i, Ev У{Х) =0 только в точках ± 1 и У(0) = 1.

3. y,j имеют вид как в соотношениях (1.50 ; причем полюсы компактные. ,(0)=U2(0) = 1, У,2(оо)0 [25.

Четырехполюсник стержневого типа можно однозначно определить по Уи или У12, остальные параметры короткого замыкания могут быть определены из ур-ния (1.50) и условия компактности полюсов [25].

Цени с простыми разомкнутыми шлейфами

Предположим, что матрица проводимости обладает свойством 3 для цепи стержневого типа, за исключением точки л = оо. Тогда либо полюсы функции y,j не компактны в точке л = оо, либо У12(оо)=0 и таким образом У(оо)=0 или оо. В любом случае v - меньше, чем degy(?v). Следовательно, v раз примененная к У(X) процедура Ричардса преобразует выражение UiU2-XViV2 к единице и при этом deg У(/.) все еще не будет равна нулю. В таком случае У12 оставшейся после выделения единичных элементов цепи имеет по-прежнему нуль в точке Х=оо, если только не выполняется условие Xvi = 0. Лестничное звено, показанное на рис. 1.22а, реализует такой нуль. Если XVi = 0, то остающаяся проводимость остатка цепи равна (l+CiX), где Ci - вещественная постоянная, и лестничная схема сводится к параллельной емкости. Цепь на рис. 1.22а

Рис I 22 Схема с простыми разомкнутыми шлейфами а) каноническая форма, б) .необразованная форма, в) коаксиальная реализация