это не вызовет трудностей, так как существование общего множителя (Jt-bQ,) в числителе и знаменателе Zi\ или Zis указывает на то, что i 2-kV\V2, а следовательно, и [(л) имеют нуль в точке Иг

Предположим, что Zn и Zu имеют полюс в точке Я=св. Каждая из этих функций обязательно имеет нуль, смежный с этим полюсом Обозначим наибольшие нули 2ц и Zu через Qou и Qois. Тогда, в соответствии с указанным выше условием о неоокращении множи-гелей, QoH будет больше или меньше, чем Qoi s, в зависимости от того, будет ли degZn больше или меньше, чем degZi,. Следовательно, при соблюдении условий, метод, проиллюстрированный на рис. 1.286, применим, если 2(схэ) = оо и если f(k) имеет нуль, не меНЬший, чем наибольший из улей Zu .или Zis соответственно, в зависимости от того, выше или ниже степень Zn, чем степень Z-

Имеет смысл сделать дополнительные замечания относительно вычетов Zu и Zu в точке Х=оо. Переписав выражение (1.70) в виде Zii-Zu= il~K)f(K)/Xu2V2, получим: 1) если v - четное, то kiiku = kao или 2) если v - нечетное, то kiskii=koo,4ro соответствует двум последним столбцам табл. 1.2. Последний случай имеет место, когда Zi2(oo) является конечным, а Z22(< )=0, но это никогда не встречается для цепей на сосредоточенных элементах Выделение полюса п р о в од и м о ст и. Предположим, что Z(ifi/i) =ii(ft) =2i4(iQft) =0 для некоторого значения Li. Преобразуем Z, Zli и Zl, в проводимости Fi, Уц, У\о и выразим их Б форме ур-ний (1 60) Проводимости КьУцню имеют полюсы в точке X = \Qk Пусть вычет Y в этой точке будет an- Тогда, выделяя 2akXl{X+iVk) = Ук из V. получаем положительную вещественную функцию Y~-Yk=(/2 + ?.o2)/(u,-Xv,). Так как и,{0)=и2{0) = = 1. то из этого следует

; = а,/(1 +XQ-), v\ = v,i[\+X~) u;{u,[l + ХQl) - 2а,ХV, /(1 + =.{V2{1 + -,) -2а, 1Q] / (1 + Х х- v\ .2 = ( ; 2 1 2)/( 1 Г)

(1.71)

(1.72)

функции Fft и Кю-У* совпадают с функциями aVA.f, и Xv2lui соответственно и являются реактанснымн функциями. Вычеты Уи и Yia в точке X = \.Qh всегда не меньше, чем ау и равны а, как можно видеть из уравнения Yn-Yia (uiUz-XViVi)I{XuiVi) (за исключением случая, когда нуль f(A) в этой точке является простым и Уп или Ую имеет в знаменателе множитель (л + й!,))

В указанном особом случае, та лз проводимостей Уи или Ую, которая содержит в знаменателе множитель (л-Ь Й/), имеет вычет больше, чем а (вычет другой проводимости равен as), так что выделение из цепи резонансного контура не приводит вычет проводимости оставшейся части цепи к нулевому значению. Но тогда, в соответствии с приведенным выше условием, два полюса и нуль лежат в одной и той же точке. Следовательно, выделение резо-

нансного контура можно понимать как выделение одного из полюсов в точке Л = 1 Qfe из каждой проводимости Уц и Ую. В то же время два нуля в окрестности полюса становятся равными Х=Юл, при этом один из них исчезает вместе с выделенным полюсом. Другие нули, меньшие, чем Qd смещаются вправо, а те, которые больше Qs, смещаются влево, но они никогда не переходят через полюсы. Полюсы, за исключением выделенного, остаются неизменными.

Процедура Рнчардса

Обозначим У или У как У,. Тогда ур-н в виде

ие (1.11) запишется

У\ (?) =УЛУг i}-) - ni/in --Уг т- (1 -73)

Новые нули (отличные от нуля в точке Л=оо) определяются выражением Yi(X)-ЯУо = 0 и равны нулям, которые получаются после выделения из проводимости емкости С = Уо. Новые полюсы определяются выражением

[ l/Fi (Х)] - (X/rj = Z, {X) - [XIY,] = О (1.74)

и равны полюсам, получающимся после выделения из функции Zi-1/У1 индуктивности /=1/Уо Как нули, так и полюсы смещаются вправо, но не переходят ближайших полюсов и нулей соответственно функции Уи лежащих справа. Когда У1 имеет полюс или нуль в точке Я=оо, ур-ние (1.73) показывает, что У1 имеет нуль или полюс, соответственно также в точке Х-оо, т. е. наибольший нуль или полюс функции У1 переместится в точку А,= схэ. Выделение последовательной индуктивности Li после применения процедуры Ричардса дает

Z\{X) = Z[(X)-XL

(Za + >.з L) z, (X) -XZ {Zq + Ц)

(1.75)

где Zi(X)=\/Yi(X). Когда Li=-2o, полюсы Y i{X) со1впадают с полюса/ми Yi(X). Рассмотрим рис. 1.30; здесь 8h-подюс функции YtiX), а Sfc - полюс функции Yi{X) после применения к ней цроцедуры Ричардса. Полюс после выделения Li = LMaKc обозначен как б й. Полюс можно передвигать в интервале между и 8 h, если -Zo<I-i<L aKc- Эта область значений Li наиболее важна, так как npin Li в ин-тервале OLiLMaKc не требуется отрица-теиьных элементов, а отрицательную индуктивность Z,iH3 интервала -Zo<Li<0 можно включить в петлю Икено.

4 4

Рис 130. Смещение полюсов. Рич означает процедуру Ричардса, а cli* - выделение индуктивио-сти Li

1.11. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ ДРЕВОВИДНОЙ

СТРУКТУРЫ

Реалкзацяя обобщенных мидсернесных четырехполюсников

В этом разделе допускается использование петель Икено. Допустим, что матрица передачи удовлетворяет необходимым условиям реализуемости:

А В С D

и, (К) Kviik)

(1.76)

у(Ж1э к с

- = (1 - XYP(к), и, (0) = и, (0) = J

Достаточными условиями являются (см. [2]):

2) существует tn + k-\ или большее число положительных нулей функции Vi{X), не превышающих йй(=1, 2, от);

3) v2m-fr-1, где г - порядок полюса затухания в точке л = оо.

Процедуры синтеза. Процедура синтеза основана на использовании Y{X) и Y\\{X), так как условие 2) также справедливо и для

Цикл А. Когда У имеет полюсы в конечных точках мнимой оси, то один из них, например, в точке X~iQh можно выделить, как показано на рис. 1.31. Цикл будет завершен после выделения единичного элемента в соответствии с процеду-рой Ричардса. После завершения этого цикла условие 2) будет по-прежнему вы-ь2д полнимо, так как:

а) выделение резонансной цепи рав-с и?лейТ тате СИЛЬНО выделению полюса Г в точке применения цикла А А=1 fis, HO при ЭТОМ В данной точке так-

L и с. и Рич -означает же ВЫДСЛЯетСЯ НуЛЬ f (X) . ДруГИС ПОЛЮ-

выделение L С-резонансного > v / i ./

контура и применение проце- СЫ ОСТаЮТСЯ НСИЗМеННЫМИ. СлеДОВателЬ-

sllc. X-Vb tmTfW о перенумерация нулей f (Х) приведет к иеиьшн чем нуль в случае прсвышению, ПО Крайней Мере, на еди-

прииенения цикла А НИЦу ЧИСЛЗ ПОЛЮСОВ В уСЛОВИИ 2), ПО-

СКОЛЬКУ значение т уменьшается на единицу;

б) выделение резонансной цели перемещает нули Гц, которые меньше Qk, вправо, но не за соседние полюсы. Нули Гц, большие

Рис 131 Цикл А

чем Qft, смещаются влево. При применении процедуры Ричардса полюсы смещаются вправо, но не далее первоначальных нулей. Следовательно, после последовательного выполнения этих двух процедур каждый полюс Yn смещается вправо, но не далее ближайших первоначальных полюсов (рис. 1.32, здесь переход, обозначенный L или С, представляет выделение резонансной цепи). Это гарантирует, что число полюсов, не превышающих каждый из нулей fix), уменьшается самое большее на единицу. Следовательно, условие 2) по-прежнему выполняется.

Цикл Б. Если Y{X) не имеет полюсов на мнимой оси, то сначала выделяем единичный элемент, а затем последовательную индуктивность Li, при этом - 2о<:1\макс. Бсли существует несколько значений Li, которые сдвигают полюс Yn к некоторому нулю f{X), то используем наименьшее значение. На этом шаге полюсы Уи сдвигаются вправо, как показано на рис. 1.30, но не переходят за нули /(л), так как было выбрано наименьшее значение Li. Следовательно, условие 2) по-прежнему сохраняется.

у а) i £э

о-о-Хо-

уГл)

У(Л)ЕЭ JL, ЕЭ

о-о--0-

Рис. 1.33 Цикл Б: а) L,0; б) Li<0

Цикл завершается выделением резонансной цепи и ЕЭ, как показано на рис 1.33а для случая, когда Li>0. Если Z-pclO, то до выделения второго ЕЭ должна быть выделена индуктивность Z.2, определяемая условием L-i+L~2 + L-3=0 (рис. 1.336). После этих дополнительных этапов условие 2) по-прежнему выполняется, поскольку случай Li>0, такой как и для цикла Л, а случай Lj <0 отличается от цикла А тем, что добавляется этап выделения Lz. Но выделение Z.2 не смещает нулей Yn.

Цикл В. Этот цикл можно использовать только тогда, когда цикл Б неприменим и существует полюс затухания в точке =оо, который может быть выделен с использованием данного цикла. В случае Z(oo)=oo после выделения ЕЭ выделяем последовательную индуктивность L = Z.MaKc>0. Это не влияет на условие 2), так как никакой из конечных полюсов Уц не достигает нуля f(X). В случае Z(cxd)=0 выделяется параллельная емкость C=[Y(X)/X)]y , что не сдвигает полюсов Уц, и условие 2) по-прежнему выполняется (рис. 1.34).

Цикл Г. Когда ни цикл Б, ни цикл В неприменим, то последовательно выделяются единичные элементы, пока не станет применимым цикл Б. Процедура Ричардса сдвигает полюсы Уи вправо

г X т. А /гч,с 1 ЧМ Таким образом, после применения

[например, <5й к б h (рис. l.cJo;j. 1аким область где

-А с

Рис 1 34 Цикл В

Рис. 1.35. Смещение полюсов при применении цикла

vrnoRHH 2 до тех пор, пока цикл Б неприменим. Цикл Г должен Грименяться только тогда, когда циклы Б и В неприменимы в си-лу условия 3).

сериесную схему. При этих циклах v никогда не уменьшается больше, чем на 2т или г. Следовательно, условие 3) по-прежнему выполняется и после применения этой процедуры.

При использовании цикла Г уменьшается только V, но этот цикл должен применяться только в том случае, когда циклы Б и В неирименимы, т. е г=0. Кроме того, неприменимость цикла Б совместно с выполнением условия 3) гарантирует, что V не меньше чем 2т (доказательство опускается). Таким образом, уменьшение v при выделении ЕЭ не нарушает условия 3).

Результирующая цепь имеет вид, показанный на рис. 1.36а, б. Т-образные звенья с отрицательными элементами совместно с единичными элементами, подключенными слша, можно реализовать петлями Икеио (рис. 1.36в). Достаточные условия реализуемости сформулированы Икено, но методика, описанная здесь, несколько видоизменена. На рис 1.37 представлен вариант цикла Б по Икено.

7 Т.

Рис 137 Измененный метод для цикла Б

а.) 0

2 £3 J. £3 ЕЗ 1 ЕЗ

ои--Ы--=--1 -И н

TtfTnrTTjX ЕзЕЭ% ЕЭ ЕЗ ЕЭ ЕЗ

Рис 1.36 Реализация расширенных мида:вриесных рехпо люсников (элементы, отмеченные знаками >0 и <0- ямя ?ся положительными и отрицательными соответственно)

С помощью четырех рассмотренных циклов можно выделить все конечные нули f{X), при этом /(Л,) становится равной единице. Таким образом, оставшуюся часть цепи можно реализовать в виде, представленном на рис. 1.22.

Условие 3) относится к числу единичных элементов цепи. Циклы Л, £ и В вводят достаточное число единичных элементов, так что полученную цепь можно преобразовать в обобщенную мид-

Синтез У(Х)

Для того чтобы реализовать входную проводимость Y{X), можно прибегнуть к дополнению У{Х). Если нули UiU2-\kViV2 лежат только на мнимой оси (за исключением точки А,=0) и в точках А,= ±1, то У{Х) реализуется как обобщенный мидсериесный четырехполюсник, нагруженный на активное сопротивление. Не теряя общности рассуждений, можно принять У(0) = 1. Пусть У(Л) дополнена функцией вида ы-f A,v= (1-ЬЛ) , как показано в ур-нии (1.33). Тогда число полюсов Yii = u2/Xv\ может быть увеличено до любого желаемого выбором достаточно большого п так, чтобы условие 2) из группы приведенных выше достаточных условий удовлетворялось. Для иллюстрации сказанного приведем следующую лемму (доказательство опускается).

Лемма Число нулей четных и нечетных частей (Ц-Л,) в любой конечной области мнимой оси Л, может быть увеличено до желаемого при соответствующем увеличении п.

Так как и ufXv являются реактаноными функциями, то

функция {uiv + viu) /Xviv также является реажтансной и ее полюсами являются как полюсы так и u/Xv. Поскольку между любой парой смежных полюсов имеется нуль, то число нулей UiV + V]U в области (О, i Q) может быть увеличено до любого значения Следовательно, приведенная лемма обеспечивается. Дополнение У(л) выражением (1-1-Я) вводит/г единичных элементов, действующих как всепропускающие цепи. Это эквивалеятно применению процедур Ричардса в случае, когда Ev У{Х) не имеет нуля в