точке в чем легко можно убедиться (см. [13]). В большинстве случаев расчет фильтров связан с расчетом частотных характеристик затухания, при этом дополнение функции ¥{%) является допустимым. Нули выражения UtUz-XViVz, лежащие на сегменте вещественной оси А,>1, могут быть также реализованы представленным методом, поскольку петля Икено может иметь такой нуль передачи.

Реализация мидсериесных цепей

Было предложено несколько достаточных условий реализуемости мидсериесных схем [2, 26, 27], различающихся только жесткостью ограничений. Пусть дана матрица, имеющая вид (1.76) Перенумеруем полюсы затухания в таком порядке, как это сделано в соотношении 0<QmfiTn-) Я<< >, а нули функции с наибольшей степенью из группы функций Ui,U2,Xvi и Xv2B соответствии с неравенством 0<6п< . <62<6j<oo Тогда достаточные условия реализуемости имеют вид: 1) г1; 2) 6h+tQh, где /=f(r-1)/2] для гЗ и =0 для г=1, 2; 3) \-2т + г. Здесь, как и прежде, г-порядок полюса затухания в точке А = оо, а квадратные скобки в условии 2) соответствуют обозначению Гаусса Нумерация нулей и полюсов произведена в порядке, обратном принятому в начале раздела

Условие 1) устанавливает, что должен существовать полюс затухания в точке Х=сх>, т. е Z(oo)=0 или оо. Это требование вытекает из условия LiO. Табл 1.2 показывает, что 2ц(оо) = = Zis(oo)=oo, когда Z(oo)=oo и Zii(oo) =Z)6(oo) =0, когда Z(oo)=0. Кроме того, только одна из функций Ui, иг, Kvt и Xvz имеет наивысшую степень. Следовательно, когда Z(oo) = oo, бь совпадает с -м нулем либо Zu, либо Zis в зависимости от того, какая из функций имеет большую степень, если нули пронумеро)ваны в том же порядке, что и бл. Когда Z(oo)=0, б* совпадает с k-м полюсом, либо Zii, либо Zis в зависимости от того, какая из функций имеет большую степень. Кроме того, k-Pi нуль той из функций Zu или Zis, которая имеет большую степень, всегда больше -го нуля другой То же самое соотношение имеет место и для полюсов. Следовательно, dh совпадает с наибольшим из k-x нулей и полюсов Z), и 2)5 Приведенные выше достаточные условия призваны сохранить расположение, по коайней мере, одного из полюсов затухания за наибольшим из нулей Zi, или Zis в дополнение к полюсу или нулю в точке Я=оо, который делает Z(oo) равным О или оо.

Процедуры синтеза ЦиклАЕсли Z(oo) =0,сначала выделим единичный элемент для того, чтобы сделать Z(oo)==oo. До применения этой процедуры Zn и Zis имели нули в точке Я,= оо. Следовательно, бй+ -наибольший среди {k+t)-x полюсов Zii и Zis. После применения процедуры 6ft+<становится наибольшим из {k + i)-is нулей Zu и Zu, которые теперь имеют полк>сы в точке Л=оо. Так как в результате применения процедуры Ричардса никакой из нулей не может оказаться дальше первоначального положения полю-

сов, 6h+t никогда не превысит своего первоначального значения. Следовательно, условие 2) выполняется и после применения процедуры Ричардса.

Цикл Б. Если Z(oo)=oo, последовательно выделим два единичных элемента. После этого цикла Z(oo) остается равным оо. Наибольший из {k + t)-x нулей Z)i и Zis, который был обозначен 6h+t до применения процедуры, после изменения нумерации обозначается как 6h+t-i, так как наибольший нуль, соответствующий первоначальному б, был сдвинут к к=оо и удален. Кроме того, как показано ниже, 6h+t~i никогда не превышает первоначального значения 6k+t-i- После выделения первого единичного элемента полюс между {k+4) и (k + t-1)-м нулями, например, функции 2ц сдвигается вправо, но не дальше первоначального расположения (k+t-1)-го нуля. После выделения второго единичного элемента (k+t)-Pi нуль не смещается за расположение вышеупомянутого полюса, а следовательно, не сдвигается за первоначальное расположение (k-t-1)-го нуля. То же справедливо и для {k + t)-ro нуля Zis. Следовательно, условие 2) удовлетворяется и после применения процедуры.

Цикл В. Пусть Z(oo) =оо и существует несколько значений L(0Ll<Luaкc), что делает применимой процедуру, представленную на рис. 1.286. Выберем наименьшее значение и применим эту процедуру. При этом значение 6k+t никогда не достигает значения Qk, за исключением случая, когда 8k+i совпадает с и удаляется в результате применения этой процедуры. Таким образом, изменение нумерации сохраняет условие 2) неизменным.

Указанная процедура всегда применима, когда =0, так как выполнение условия 2) гарантирует, что 6iQi.

Цикл Г. Пусть Z(oo) =оо и цикл В недрименим. Выделим полюс затухания в точке >,=оо, как показано на рис. 1.38. Здесь tO и гЗ. Следователь- о, условие 1) по-прежнему выполняется, и Z(oo) = = оо после применения процедуры.

Первоначальные значения Sk+t больше (-f-/)-x нулей Zi, и Z)s. В соответствии с вышеизложен-ным, любой нуль, соответствующий 6k+t, не превосходит при выделении 1 = 1макс любого значе-аяя Qft. Выделение С не сдвигает этого нуля. После применения указанной процедуры 8h+t также будет больше {k+t)-x нулей Zii и Zis. Так как наибольшие нули в результате применения данной процедуры удаляются, то нумерация изменяется: 8h+t заменяется обозначением 6h+t-i- Однако, поскольку в результате этой Процедуры двойной полюс затухания устраняется, то г уменьшается до змачвния г-2 и / до t-1. Следовательно, после применения п-роцедуры обозначение 6h+(-i необходимо заменить на 8k+t и условие 2) будет по-прежнему выполняться. Даже если выделение =максодвитает 6k+t к Qh, цикл Г применим.

Всегда возможно применить цикл В либо Г. Цикл Б будет применяться всякий раз перед применением цикла В или Г. Та-

о-Хс

Рис 1.38

Цикл Г

КИМ образом, условие 3) остается справедливым. Получающаяся схема имеет вид, представленный на рис. 1.39а. Ее можно преобразовать к виду, показанному на рис. 1.396 и реализовать на двухпроводных линиях, как показано на рис. 1.39в.

Рис 1.39. Реализация мидсериесных четырехполюсников

Если г -четное и Zfoo)==0 в начале, вычет функции У(Я) = = 1/2(Я.) можно представить параллельной емкостью, включенной на входе четырехполюсника. Следовательно, оставшийся импеданс имеет полюс в точке А,=оо и нулем или Zu становится 6ft, при этом неравенство г1 сохраняется.

1.12. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Основная идея способа реализации, описанного здесь, состоит в разложении заданного ммитанса (или матрицы) на аддитивные компоненты, реализация которых известна. Сначала рассмотрим синтез входной проводимости. Так как полюсы У (Л) на мнимой оси можно представить параллельными шлейфами, подключенными на входе, рассмотрение может быть ограничено случаем, когда У(Я.) не имеет полюсов на мнимой оси. Тогда Y{X) может опреде- ляться однозначно на мнимой оси своей вещественной частью. Это показывает, что синтез может быть основан на использовании EvY{X). Пусть

Ev У {X) = (и, щ - Х V, vVi и\ -y?xfi= PIQ, (1.78)

где Р и Q - четные полиномы от X. Необходимыми и достаточными условиями того, чтобы P/Q было четной частью положительной вещественной функции, являются: 1) Р - неотрицательная, а Q - положительная функция на мнимой оси; 2) степень Р не выше степени Q. Необходимость очевидна, а достаточность можно доказать следующим образом. Вначале предположим, что нули Р, за исклк>чением нулей в точке Х=±1, имеют четные кратности. Это не налагает дополнительных ограничений на Р, но дает возможность дополнить Р умножением Я и Q на общий множитель, положительный на мнимой оси. Так как Q - положительная функция на мнимой оси, разложение Q однозначно определяет полином Гурвица Ut + Xvi. В этом случае Ytz и У22 определяются соотноше-ннями (1.37) или (1.38). Теперь Уц, являющуюся реактансной

функцией, можно определить так, что все полюсы У; будут компактными, удовлетворяя необходимым и достаточным условиям нормального реактансного четырехполюсника. Выражение для Ev Y(X) этого четырехполюсника, нагруженного на сопротивление 1 Ом, совпадает с выражением (1.78).

Полином Р можно представить в виде произведения сомножителей f=/2(X)fi, так что нули Р на мнимой оси принадлежат Р(л), а остальные -а /.2к. Разложение Р, по степеням (1-Я2) дает

Evy(?.) = 2 ft,(l->Yf (X)/Q,

(1.79)

где bjj-вещественные постоянные. Если все Ь-положительны и /(О)тО, то Y{X) можно реализовать параллельным соединением обобщенных мидсериесных четырехполюсников, нагруженных на выходе на сопротивление 1 Ом. Если некоторые коэффициенты отрицательны, то может быть использовано дополнение Ev Y{X) выражением Н{Х)Н(-Х), где Я(>) - соответствующим образом выбранный полином Гурвица, для того чтобы сделать все b положительными. Необходимые и достаточные условия существования такого полинома Н(Х) заключаются в требовании, чтобы Pi не имел нулей на участке Х<1 вещественной оси или на мнимой оси (см. доказательство в работах Киясу и Икено Г281 или Икено [2]).

Матрицу проводимости четырехполюсника можно разложить на аддитивные составляющие. Предположим, что Y - матрица проводимости нормального реактансного четырехполюсника с компактными полюсами. Пусть

. Y=Y + Y , (1.80)

где Y и Y - матрицы нормальных реактансных четырехполюсников. При использовании такого разложения вычеты в полюсах функций y,j будут разделены на вычеты функций Y\j, У ,, т. е.

kij k:. + k:, /,/=1,2. (1.81)

В данном случае необходимо, чтобы

x\k-l + 2xyk[+y4l>0

для всех вещественных значений х и у. Так как предполагается, что полюсы функций y,j компактные, то для некоторых значений х и у, не равных тождественно нулю, должно выполняться равенство

х (+ *;,) + 2ху (+ *;-,) -f у (k; + k;) = о.

Тогда для этой совокупности значений л; и у должны сохраняться знаки равенства и в соотношениях (1.82). Из этого след-ет, что

(1.82)

Из равенств (1 83) и выражения det (k\j + k )=0 имеем

= ;2/*;2= 2 > О- (-

Отсюда видно, что для разделения Y на Y и Y необходимо и достаточно, чтобы вычеты функций Ylz и Y i2 имели одинаковый знак или равнялись нулю во всех полюсах Yn Разложение матрицы Y можно выполнить, используя выражения

fiX) = f{X) + f{X), (1.85)

где f(k) входит в выражение У12 = -1 (-Л)/(Х)/я(л), Г{Х) и - вещественные полиномы от К, четные или нечетные в зави симости от того, четная или нечетная f{l) В данном случае, необходимо и достаточно, чтобы f(K) и f (к) имели одинаковые знаки или равнялись нулю в каждом из полюсов Yn (см [29])

Такое же соотношение имеет место, когда подобным образом раскладывается множитель при f(k) Указанные выше условия также достаточны, хотя и не необходимы, даже если полюсы функ ции У не являются компактными

Сначала рассмотрим реализацию комплексных нулей функции f{k) Пусть Ло - комплексный нуль f{k), тогда f(k) содержит сомножитель

(к - kl) (к - Ц) = {V - df -Ь Ъ\ (1.86)

где а и - вещественные постоянные, черта над числом обозначает комплексною сопряженность

Так как {У?-ау и Ъ не отрицательны для любого мнимого значения >, разложение указанного сомножителя на (}?-ау и Ь-и, следовательно, получаемое разложение функции ]{к) удовлетворяют вышеупомянутым условиям Когда а<0 или а>1, нули функции (л-а)2 можно реализовать в виде обобщенного мидсериесно-го четырехполюсника Это только один из примеров разложения Более трудные примеры приведены ниже

1 Пусть а<0, т е n/2>Arg Аю>я/4, и пусть

(Я2 а)24-6 = (-а-)(- + ) + (* +А (-87) Здесь значение параметра х будет выбрано так, чтобы (}3--а~х) или [к-а-{-х) совпадало с полюсным множителем функции Yn для значений -с в интервале от О до а Тогда этот множитель мож но сократить в числителе и знаменателе У12, что уменьшит число элементов, необходимых для реализации [25]

2 Пусть

(.i! Я2) (У? Х) = с2 (+ Й?) (1 - + + ?) + 2) (1 88) где 62i>6>0 Из этого следует, что c2i = C2-1 (1-Х§)(.-Х)

и С2 =

(l + 6?)(l-f62,)

Следовательно, условие с\> 1 является необходимым и достаточным для того, чтобы ci, с\ и Qi были вещественными и положительными Также ясно, что Q2i>6i Поскольку первый член в правой части ур-ния (1 88) становится отрицательным при Q>Q2i(A,= i Q), а второй отрицателен при b\>Q>b\, то У12 не может иметь полюса в этих областях Требование, касающееся второго члена, выполняется, если его нули выбраны совпадающими с двумя соседними полюсами функции Уи, что также приводит к упрощению второго члена Существование множителя (1-z) в первом члене \ прощает получающуюся цепь [30]

3 П-усть

- К) - К) = - i) -г с\ {к

(1.89)

где с2)>0, с2>0 и Стг(1=1, 2) выбираются так чтобы они удов летворяли условию а,1 или а,<0 Так как

{К-а1{К - °г)Лсг1Сг\ или -i\clc,\,

то (ло-(Ti) и (Яо-02), являющиеся комплексными векторами в Я-плоскости, ортогональны друг к другу Следовательно, к\ лежит в Я-плоскости на окружности, имеющей линейный сегмент (ai, аг) в качестве своего диаметра, как показано на рис 1 40 При изменении значения c2/ci от О до оо, Яо перемещается по этой окружности от ai до а2, и наоборот, если Яо лежит вне окружности с линейным сегментом (0,1) в качестве ее диаметра то возможно раз ложение в соответствии с ур-нием (1 89) при значениях ai и а2, указанных выше Кро vie того, каждый член в правой части ур-ния (1 89) не отрицателен на отрицательной вещественной оси плоскости, что гарантирует независи мосгь разложения от полюсов У12 Приведен ное выше рассмотрение показывает что мож но принять 02 равным единице, так что полу чающаяся цепь упростится В этом случае

: [У? Х2) (Я я) с\ (Я - а,) + с= (1 - Я)

t ( 4 n/ioc честь

1 40 Расположе корней ур ния (I 89)

> При 0)<О значение с\ может быть еще более увеличено для фиксированного значения Я , если двойные нули первого члена в правой части приведенного выше соотношения расщепляются на

-г; пары простых нулей, как в случае (1), т е

(Г - kl) (V - Ц) = (Я + Щ) (Я + Й) + (1 - Я)

* Здесь с2 выбирается так, что либо Qi, либо Йг совпадают с бли жайшим полюсом У12, когда увеличивается [29]

Г- 47