шись распределением электрических зарядов и используя уравнение Пуассона:

у2ф (1/е)р(л:, t/), (2.8)

Ф = 0 на границе.

Для решения этого уравнения используется функция Грина О:

yG = -{\/e)b(x - x)6(y - y), (2 9)

G=0 на границе

где б - функция Дирака. Если решение этого уравнения предполагается в виде G = G{x, у\х, у\, то решение уравнения Пуассона будет иметь вид:

Ф[X, y)=\G[х, у\х,у)(>[х, у)dxdy. (2.10)

Общий заряд проводника равен

Q = p{x,y)dxdy. (2.11)

Ур-ния (2.10) и (2.11) требуют интегрирования по граничной поверхности. Если Фо -разность потенциалов между проводниками, емкость С получается из соотношения

С = д/Фо. (2.12)

Эффективное сопротивление на высоких частотах

Если радиус кривизны поверхности проводника достаточно велик по сравнению с глубиной поверхностного слоя, то можно полагать, что электромагнитное поле и плотность тока вблизи поверхности проводника произвольного поперечного сечения будут такими же, как если бы проводник был бесконечно широким. Следовательно, магнитное поле в проводнике будет определяться выражением-

Я = Я,ехр(-п/б). (2.13)

где б - глубина поверхностного слоя: Н, - магнитное поле на поверхности проводников; п - нормальное расстояние от поверхности проводника.

Величина тока на поверхности получается из выражения 1 = Н/6, поскольку ток смещения внутри проводника пренебрежимо мал. Мощность, рассеиваемая на единицу длины, будет равна:

Р = (1/а)(/Мд. (2.14)

Обозначая эффективное значение всего тока через /о, получим следующее выражение для эквивалентного сопротивления на единицу длины на высоких частотах:

?.ФФ = (1Мб/)/?*, (2.15)

где индекс пп означает поверхность проводника .

2.4. ЭКРАЬШРОВАННЫЕ ЛИШШ Линии с прямоугольными проводниками

Полосковые линии передачи. Рассмотрим симметричную экранированную линию передачи, представленную на рис. 2 1а. Через а обозначена ширина полоски: b - толщина; d - расстояние между заземленными плоскостями: х и е - соответственно магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная диэлектрика; [ic. а -соответственно магнитная проницаемость и проводимость проводника.

Рис 2 1 Конформные преобразования для линий с прямоугольным внутренним проводником и параллельными заземленными пластинами: а) плоскость г; б) плоскость t\ в) плоскость X

Преобразуем полубгсконечную область ABCDEFGHA плоскости г в верхнюю пoлyплocкocть с помощью преобразования Шварца-Кристофеля:

dz dt

После интегрирования этого выражения получаем

/а fa -

: = С,Г

(2.16)

(2.17)

где Ci и Сг-произвольные постоянные, определяемые по известным значениям точек В и С плоскостей z w t. Одновременное решение двух уравнений дает:

dz = i{d~b)l2, (2.18)

С 1/2

dt =

-I/*

dt. (2.19)

Подставляя эти значения в (2.17) вместе с соответствующими величинами В, С, D, Е на плоскостях z и t (табл. 2.1), имеем.

ТАБЛИЦА 2.1

./(1.1)

J (0.

а

~dJ(Q,l)+j(\,k-) с J(Q,l)+J (\, k-)

(/2 l)(/2 fe-2)

(2.20)

(2.21)

Аналогично, в качестве преобразующей функции для плоскости х (рис.- 2.1s) используется

d XIdt = СЛ- 1) it - )Г . (2.22)

где Сз-произвольная постоянная. Распределение заряда на поверхности проводника дается выражением

q = Bl\dxldzU (2.23)

а общий заряд среднего проводника

Q = <qdz=itC,kK{k).

(2.24)

Интегрирование (2.22) по пути между проводниками дает возможность определить разность потенциалов

0 = J = т 8) [К {куК (*)]. (2.25)

Емкость полосковой линии на единицу длины - это отнощение разности потенциалов между проводниками к заряду на единицу длины:

С = 4еК{к)1К{к), (2.26)

где K(k) - полный эллиптический интеграл первого рода: (k)=

= l-fe2.

Волновое сопротивление

г, = 30я{11г1г,У К(к)1К(к), (2.27)

где 11т и ег - относительная магнитная проницаемость и диэлектрическая постоянная среды между проводниками соответственно. Распределение тока можно получить из ур-ния (2.23)

е \1/2

Jo6mU(0, l) + J{\, fe~)] 2dkKik)

.(2.28)

Если предположить, что ток течет равномерно по всей глубине поверхностного слоя, то джоулевы потери в этих проводниках будут равны:

lie/

/оэфф = (1/аб)({) Ildz =

J пп

1/2 С1 е

Ч е С dt

а эффективное сопротивление равно

Raфф =

/2 [J (О, 1) + J{\, k~ )] [/ (О, 1) + / ( fe- , оо)]

2d¥Wik)

(2.30)

(2.31)

Из выражений (2.27) и (2.30) находится постоянная затухания, дБ/м:

а=- 4,343/?зфф/го.

(2.32).

Полученные выше результаты представлены в виде графиков на рис. 2.2-2.5 [17].

Zq,Om

Рис. 2 2. Нормированное волновое сопротивление линии с прямоугольным проводником и заземленными пластинами в зависимости от отношения aid Для нескольких значений bjd (а-ширина проводника, Ь - толщина проводника, d -расстояние между заземленными пластинами)

а,01 0,02 0,03 0,1 0,1

0,3 I 2 J a/d

Рис 2 3 Нормированная постоянная затухания a = a<i(a/nii/) лолосковой линии как функция волнового сопротивления для некоторых значений о/а принечание Существует оптимальная величина РиоГ

постоянная затухания минимальна (на графике - пунктир)

0,001 0,002 o,oos 0,01 0,0г o,as o,i ti

a,s b/d.

Рис 2.5. Нормированная постоянная затухания a = ad((t/nnf) полосковои линии как функция bjd для некоторых значений волнового сопротивления

/

7777.

V7r77-77777T77777Tf7V

. .. / А В С В Е А

Рис. 2 6. Конформные преобразования для нечетного типа колебаний в двухполос-ковой линии, связанной по краям; а) поперечное сечение; б) плоскость г; в) плоскость t\ г) плоскость ш, д) плоскость X

зеле

г)

fij Е I

Рис 2 4 Нормированное эффективное сопротивле11{ге /?эфф = = /?,фф{о-/лр/) как функция волнового сопротивления

Пара симметричных полосковых линий, связанных по краям. На рис. 2.6 представлена пара симметричных полосковых линий, помещенных между бесконечными параллельными плоскостями, связанными между собой. Через а обозначена ширина внутреннего проводника, s - расстояние между внут-ренни.ми проводниками, d - расстояние между заземленными па-

В Л Е А

Рис 2 7 Конформные преобразования для четного типа колебаний в двухпроводной полосковой линии, связанной по краям

раллельными плоскостями, - магнитная проницаемость, е - диэлектрическая постоянная.

Последовательность конформных преобразований для колебаний нечетного вида представлена на рис 2.66-д, для четного вида- на рис 2.7. Подробности вывода соотношений даны в (18].