Реализация гипердо2иннантной емкостной матрицы

В качестве примера рассмотрим гипердоминантную матрицу третьего порядка: риду

12 -f Cj2 + С23

Ее можно разложить на составляющие следующим образом:

первый член в правой части можно реализовать в виде коаксиальной линии с тремя экранами, второй-коаксиальной линией

с двойным экранам и последний - обычной коаксиальной линией, как показано на рис. 5.7. Все проводники, имеющие одинаковые номера, соединены при этом параллельно. Тот же метод применим и к матрицам большей размерности. Этот вопрос изучался Т. Андо ) и была получена следующая теорема.

Теорема. Гипердоминантная матрица С порядка п может быть физически реализована параллельным соединением линий с п, п- 1 тройным, двойным экраном и обычной коаксиальной линии.

Имеется также много других (возможностей реализации гнпердоминантной С матрицы в виде параллельного соединения коаксиальных линий с многократной экранировкой. Некоторые из них представлены ниже в форме теорем о реализации.

Теорема. Гипердоминантная С матрица порядка п может быть реализована в виде параллельного соединения п коаксиальных линий с п экранами (коаксиальных линий с п-кратной экранировкой).

Теорема. Гипердоминантная С матрица порядка т может быть реализована параллельным соединением т 2т-кратных коаксиальных и т простых коаксиальных линий.

Различные методы физической реализации гнпердоминантных С матриц были независимо доказаны Саито [4].

Латериалы не были опубликованы

Рис 5 7 Синтез матрицы С третьего порядка в виде параллельного соединения коаксиальной линии с тройным экраном, с двойным экраном и обычной коаксиальной линии

Вырождение многопроводных линий

Если любой нз проводников /г-проводной линии, например i-й, разомкнут на обоих концах, тогда ток /, и соответствующая комбинация Уг напряжений, определяемая соотношенпем (5.9), будут тождественно равны нулю по всей линии. Аналогично, если любой из проводников, например j-й, заземлен на обоих концах, тогда Ui и соответствующая комбинация /j токов, определяемая соотношением (5.10), будут тождественно равны нулю по всей линии (i=l, 2,..., ).

Если для любого числа /г, модов передачи п-проводной линии созданы такие условия, что эти моды подавлены в линии (соответствующие им токи и напряжения тождественно равны нулю), тогда число независимых модов, действительно существующих в линии, равно п-п,.

Многопроводная линия, в которой созданы условия такого рода, называется вырожденной . Она эквивалентна многопроводной линии с меньшим числом проводников. При синтезе цепей из многопроводных линий необходимо следить, чтобы составляющие цепей нз многопроводных линий не оказались вырожденными.

5.3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ ИЗ МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ

Цепь с п входами из п-проводной линии

При нагрузке отрезка п-проводной линии на дальнем конце на идеальные трансформаторы получается цепь с п входами, если смотреть на линию со стороны ближнего конца. Конец каждого из проводников и общий экран (земля) образуют один вход цепи. Математический анализ показывает, что матрицы Z и Y образованной таким образом цепи с п входами имеют форму

[Z] = к- [а] + к [Ь], [Y] = к- [с] + к [d], а матрицы вычетов имеют следующие свойства [6]:

1. rank [а] = rank [d], rank [b] = rank [с];

2. deg [Z] = rank [a] + rank [6] = /г = deg [Y] = rank [c] = rank [d];

3. [a] + [b] = [E], [c] + [d] = [r)] -гипердоминантная матрица.

Здесь, deg [Z] означает минимальное число элементов (исключая идеальные трансформаторы), необходимое для построения цепи с матрицей холостого хода [Z].

Ниже проведено исследование нулей Zjj и Yij, определяе.мых соотношениями (5.31). Предполагается, что нагрузкой линии на приемном (дальнем) конце являются только холостой ход и короткие замыкания проводников между собой и на землю. Тогда йц

(5.31)

может быть либо О, либо не 0. Если a,j не О, оно должно быть равно с - и а , так как при этом проводники должны быть коротко-замкнуты между собой на дальнем конце линии. Поэтому все элементы матрицы [а] должны быть неотрицательными, но элементы матрицы [Ь] могут иметь любой знак. Единственное ограничение, накладываемое на матрицы [а] и [Ь], заключается в том, что все элементы матрицы [й=М+[] должны быть неотрицательными.

Предположим, что положительная величина и что Zij

имеет нуль XOij на положительной полуоси X. Тогда из условия Zij = X-aii + X bij следует, что Ьц должно быть отрицательным. С другой стороны, t,ij, т. е. сумма ац и bij, должно быть положительным по предположению. Таким образом, получаем а,-,>-bi bij<0 и a,j/{-bij)>l. Нулем Zij будет

X = aij = la,i/(bij)f>l. При t,ii = 0 нуль Zij находится в точке с координатой 1.

Рассмотрим теперь нули Yij = X~Cij+Xdij. Здесь Cij - взаимная индуктивность цепи при коротком замыкании и может быть лоло-жптельной или отрицательной. Предположим, что Cjj - положительная величина и что нуль Fij - вещественный. Тогда - от-

рицательно, и так как

Cii + dij = -r]i,<0,

(5.32)

то 0<Ci;<-d,;; 0,.=[c,/(-di.)]<l.

Если сц<0 и dij>0, то из соотнощения (5.32) получим О < 6?;; < - Си, Oif = [(- cu)l{di})f > 1. Таким образом, вещественный нуль y,j может быть либо меньше, либо больше 1 в зависимости от того, выполнено ли условие Сц>0 или условие c,j<0.

Синтез рациональных цепей без потерь с п входами

Цепь с п входами можно построить из отрезков коаксиальных п многопроводных линий с одинаковыми электрическими длшнами. Характеристики такой цепи описываются функциями от частотной переменной X=ihyl. Но эти функции не всегда будут рациональными функциями от X, так как отрезку линии более соответствуют функции sin и cos р/, чем X=th v. В некоторых случаях иммитансные матрицы цепи с п входами будут иметь иррациональные множители вида (1-Я) .

Синтез распределенных реактивных цепей с одним входом, определяемых рациональной входной функцией, выполняется путем выделения из цепи отрезка коаксиальной линии, причем остающейся части цепи, как известно, будет соответствовать, согласно теореме Ричардса, положительная вещественная входная функция. Синтез цепей с двумя входами, основанный на выделении двухпроводных линий, был предложен Саито.

Предположим, что в цепь с п входами со стороны ее входов включен отрезок п-проводной линии. Полная цепь с п входами имеет матрицу проводимостей короткого замыкания [У(Я)] и матрицу сопротивлений холостого хода [Z(X)]. При Х=1 эти матрицы должны быть равны соответственно .матрицам волновых проводимостей и сопротивлений /г-проводной линии. Поэтому, если существуют матрицы [(1)] и [2(1)], то существуют и матрицы [Y(a)] и [Z(л)]. Следовательно, цепь должна быть нормальной. Нормальной называется цепь, у которой отсутствуют какие-либо зависимости между напряжениями или токами на входах. Кроме того, матрица волновых проводимостей любой многопроводной линии должна быть гипердоминантной. Поэтому матрица [(Я)] Данной цепп при Х= 1 должна быть гнпердоминантной. При С1штезе цепи с п входами путем выделения отрезков многопроводных линий большое значение имеет понижение степени матрицы [5(Л)] цепп.

Предположим, что отрезок -проводной линии нагружен на дальнем конце соединением идеальных трансформаторов Тд (при этом для отдельных проводников могут иметь место условия холостого хода, короткого замыкания на землю и между собой. Как было доказано в предыдущем разделе, образованная таким образом цепь с п входами есть цепь п-го порядка.

Если теперь нагрузить п-m входов цепи соответствующим соединением идеальных трансформаторов с матрицей (рис. 5.8), то получим цепь с т входами. Порядок этой цепи с m входами

7 о-

/775.

о-о-

Рис. 5.8. Цель с л-входами, полученная из л-проводной линии

Рис. 5.9. Цепь в виде каскадного соединения звеньев многопроводных линий и идеальных трансформаторов

будет п, если в линии существуют все п модов распространения, т. е. нет вырождения. В противном случае порядок цепи с т входами будет меньше п.

Рассмотрим цепь, приведенную на рис. 5.9 в виде каскадно включенных отрезков многопроводных линий и многовходовых трансформаторов (соединений обычных идеальных трансформаторов). Это есть общая форма цепи, синтез которой рассматривается ниже. Она может быть подвергнута свертыванию ( сгибанию ) в каждом из многовходовых трансформаторов, что в результате приведет к цепи, изображенной на рис. 5.8. При этом необходимым будет условие равенства общего числа проводников в отрезках линий обеих цепей, т. е. п = П1-{-ПгЛ- .... Для того чтобы

цепи на рнс. 5.8 и рис. 5.9 были эквиваленты друг другу, матрица Тд должна получаться, как результат некоторого преобразования матриц Тг, Т4..., а матрица должна получаться из Ti, Т3,... Если все моды в отрезках линий цепи на рис. 5.9 существуют (т. е. в линиях нет вырождений), то степень матрицы [JC?)] порядка т, соответствующей этой цепи, равна п. Из этого можно сделать вывод, что уменьщение степени матрицы входных проводимостей цепи, вызываемое выделением отрезка многопроводной линии, равно числу проводников этой линии, если в линии существуют все независимые моды распространения.

Синтез цепи без потерь, описываемый рациональной матрицей, осуществляется в последовательности, которая дана ниже.

Описание цепи. Пусть свойства цепи определяются соотношением [aji{(/li=Ib]il/]i, которое можно рассматривать просто как линейное соотношение между напряжениями и токами на входах цепи. Матрицы и [b]i имеют порядок п; U и I - векторы-столбцы порядка п.

Сначала находим определители матриц det [a]i и det[6]i, чтобы выясиить, не обращаются ли они в нуль. Если ни один из определителей не равен нулю, то следующий шаг не является необходимым и можно сразу переходить к шагу 16.

Описание заданной цепи можно представить либо матрицей [Z] либо матрицей [Y]. Можно рассматривать такое представление как особый случай приведенного выше соотношения, когда или [a]i или [b]i есть единичная матрица.

Шаг ]а -исключение избыточности. Если или det [а]i, или det[b]i, или оба определителя равны нулю, то рассматриваемая цепь с п входами будет избыточной. Цепь называется избыточной, если имеются какие-либо зависимости между напряжениями на входах или между токами на входах, или то и другое. Такую цепь можно реализовать в виде соединения многообмоточного идеального трансформатора и цепи с числом входов меньшим, чем п.

После выделения многообмоточного идеального трансформатора векторы напряжений и токов исходной цепи преобразуются в новые векторы [U]ia и [/]ia, связь между которыми определяется матрицами Y и Z и имеет вид:

Размерность {Y{K)]ia и [Z{K)]\a равна niX i. т.е. меньше, чем размерность (а], и [b]i Дальше проверяется, является ли матрица [J(l)]ia= [(Ti)]ia гипердоминантной или нет. Если нет, то переходим к следующему шагу, если да, то переходим к шагу 2.

Шаг 16 - устранение негипердоминантности. Если [У(1)]1а = = [(Ti)]ia не является гипердоминантной матрицей, то необходимо найти неособенную матрицу преобразования Ki, такую, чтобы матрица KilT)ia]Ki=(T)ib]=(n]ib была гипердоминантной. Здесь Kl - транспонированная матрица Кь а {т)]1ь - произвольная гипердоминантная матрица. При таком преобразовании векторы

напряжения [U]ia и тока [/]ia имеют вид: [t/jib = K~ilt/]ia, I/]ib= = Ki/]i<i. После преобразования имеем lI]ib=[Y{X)]ib[U]ib, где lY{X)]ib = Ki[Y{\)]iaK.i. Размерность матрицы {У(А,)]1ьравна riiXfii.

Шаг 2 - выделение многопроводной линии. Из [У(Х)]1ь можно выделить отрезок rti-проводной линии, так как [y(X)]tt - гипердо-минантпая матрица при ==1. Векторы [Щхь и {/]ib представляют собой векторы напряжении и токов на входах цепи до выделения отрезка линии, а \U]2 и f/]2 - тоже, после выделения отрезка линии. Напряжения и токи связаны соотношениями;

[U] = c[UU~s{l],b{IU [l]2-=c[l] ~s[x\]Mxb.

где [S]ib - матрица, обратная матрице [r)]iu, а с=с\\у1, sshyV. После исключения из этих соотношений, получим

[а], = с 1 - S ни [Y] , [Ь],-с [YU ~ s [r]U

и In - единичная матрица порядка п.

После выделения пгпроводной линии остается цепь с ni входами, матрица входных проводимостей которой, как доказано Саито [10], является положительной вещественной. Другое доказательство дано в последнем разделе. Теперь необходимо проверить, не обращаются ли в нуль определители det(a]2 и/или det[6]2 Если ни один из определителей не нуль, то можно переходить прямо к шагу 2а.

Шаг 26 - исключение избыточности. Если или det[a]2, или det[/;]2, или оба определителя равны нулю, тогда цепь с ni входами, которая получилась после выделения ni-проводной линии, будет избыточной. Ее можно представить в виде соединения многообмоточного идеального трансформатора и цепи с Пг входами, где число входов рассматриваемой цепн П2<Л1. После выделения идеального трансформатора векторы напряжения [U2] и тока [/2] цепи с числом входов преобразуются в [У]2а и [/jL, связь между которыми определяется Y и Z матрицами и имеет вид:

lU]2a = lZmhAIha-

Размерность матриц [К(>)]2а и [Z(K)]2a равна ПгХпг и меньше размерности Иг и [Ь]2. Дальше проверяется, является ли матрица [F(l)]2a гипердоминантной нлн нет. Если нет, то переходим к следующему шагу, если да, то переходим к шагу 3.

Шаг 26 - устранение негипердоминантности. Если [У(1)]2а= = [11]2а - не гипердоминантная матрица, то находится неособенная матрица преобразования Кг и ее транспонированная матрица Кг, обеспечивающие, чтобы матрица К2[т)]2аК2= [т)]2ь была гнпердоминантной. Здесь [т)]2й - произвольная гипердоминантная мат-