рнца. При этом напряжения, токи и матрица Y преобразуются следующим образом:

= кг [Uha. ии== К, [Ук;.

Размерность матрицы У(Х,)]26 равна ПгХлг-

Шаг 3 - выделение многопроводной линии. Так как [У(1)]2ь = = [л]26 - гипердоминантная матрица, то из [¥{Х)]2ь можно выделить отрезок /г-проводной линии. Здесь векторы [U]2b и [/Ьь являются векторами напряжений и токов на входах цепи до выделения отрезка линии, а [U] и [/]з - соответствующие величины после выделения отрезка линии. Векторы [Щз и [/]з можно представить в виде:

1% = Ши], [/]з=[6]з№,

lah = cl ,~s[l,U[y] [bh ciy] -s[r]U,

Указанная последовательность щагов: 1) исключение избыточности, 2) устранение негипердоминантности и 3) выделение многопроводной линии, может теперь циклически повторяться. Порядок цепи будет уменьшаться каждый раз на величину, равную числу проводников в выделяемой линии. Цикл повторяется до тех пор, пока в результате не будет получена матрица [У] степени О, что соответствует идеальному трансформатору. На этом синтез заканчивается.

После каждого шага, соответствующего преобразованию избыточной цепи к нормальной, происходит уменьшение числа входов цепи, поэтому число проводников в выделяемых линиях после каждого шага 1а, 2а, ... и т. д. уменьшается, т. е. п>Пх>П2> .... Преобразование избыточной цепи в нормальную и последующее преобразование негипердомннантной матрицы в гипердоминантную можно реализовать идеальными многообмоточными трансформаторами. При этом два таких смежных трансформатора можно объединить в один.

5.4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЦЕПИ

Матрица проводимостей отрезка коаксиальной линии содержит элементы, являющиеся иррациональными функциями от л. Цепи, иммитансные матрицы которых имеют иррациональные элементы, названы здесь иррациональными . Особый интерес представляют иррациональные цепи, иммитансные функции которых могут иметь иррациональный множитель только вида , так как это

характерно для цепей с одинаковыми электрическими длинами, которые и рассматриваются здесь. Если все элементы матриц

[У(л)] и являются рациональными функциями от л, матри-

цы (а следовательно, и цепи) называются рациональными.

В случае рациональных цепей для их матриц Y или Z можно использовать разложение на элементарные дроби. Если цепь без потерь, ее можно реализовать из реактивных элементов, соответствующих элементарным дробям разложения, и многообмоточных идеальных трансформаторов. Поэтому степень (или порядок) цени можно определить, как минимальное число реактивных элементов, необходимых для построения цепи. Однако в случае иррациональных цепей подобное разложение уже не будет в буквальном смысле разложением на элементарные дроби.

Если ввести в качестве новой частотной переменной р, = л~*[1 - - (1--Х,) ] =th (у 2), то Y -матрица цепи, являющаяся иррациональной или частотной переменной Я, будет рациональной нли частотной переменной ц.

Отрезок коаксиальной линии представляет собой цепь с двумя входами. Если из такой цепи получить цепь с одним входом, соединив два входа исходной цепи параллельно, то для результирующей цепи входные иммитансы будут равны:

У[ = 2Уо1, Z, = Zj2yi. (5.33)

С другой стороны, если измерить входной иммитанс между двумя проводниками (внутренними) линии, то получи.м

Z,= 2Z ti, У, = У12\1. (5.34)

Эти иммитансы равны иммитансам обычной коаксиальной линии половинной длины (относительно принятой для единичных элементов), разомкнутой или короткозамкнутой на другом конце. Поэтому порядок полученных иммитансов будет принят равным 1/2.

Пассивная цепь без потерь с одним входом может иметь иррациональные иммитансы, но эти иммитансы должны удовлетворять следующим условиям:

1) иммитансы должны быть нечетными функциями, чисто мнимыми на мнимой оси;

2) в правой полуплоскости их вещественные части должны быть положительными;

3) иммитансы должны иметь положительные производные на мнимой оси;

4) иммитансы не должны иметь ни полюсов, ни нулей в правой половине плоскости;

5) их полюсы на мнимой оси должны быть простыми с положительными вычетами, их нули на мнимой оси должны быть простыми.

Если иммитансы рациональные, то они вещественны и положительны на вещественной положительной полуоси. Если же они иррациональные, то они должны быть комплексными с положительной вещественной частью на вещественной положительной полуоси и мнимая часть должна быть конечной при Х=°о. Рацио-

нальные и иррациональные иммитансы, которые удовлетворяют этим условиям, называются положительными.

Особой чертой иррациональных иммитансов, которую необходимо отметить, является то, что они не являются однозначной функцией X и зависят от значения уlArthX. Свойства иррациональных иммитансов и их синтез детально рассмотрены в [8 .

5.5. ВЫДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЙ

Имеется много публикаций по вопросу выделения из одновхо-довых и двухвходовых цепей отрезков коаксиальных линий единичных элементов. Развитие теории применительно к синтезу много-входовых цепей путем выделения отрезков многопроводных линий проведено Саито [10].

Как указано в предыдущем разделе, все элементы иммитансной матрицы пассивной взаимной иррациональной цепи без потерь являются нечетными функциями частоты Я, мнимыми на .мнимой оси. Они могут иметь полюсы только на мнимой оси и не должны обязательно быть вещественными на вещественной оси.

Предположим, что взаимная цепь без потерь с двумя входами имеет матрицу проводимостей [У(Я)], причем иррациональным является только элемент У12. Тогда

V = [{l-XY]ID,

где ;Vi, Л2, Л12 и D суть полиномы от X. Полюсы в начале координат и на мнимой оси могут иметь все элементы матрицы, т. е Уц, У22 и У12, но полюс в Х=оо может быть только у элементов Уц и У22, но не у У12. Следовательно, У12 есть конечная мнимая величина на мнимой оси. С учетом сказанного, разлагая [У(л)] на элементарные дроби, получаем

Yi,=

х { X;

-г пХ (i= 1, 2)

Y = {l-V)

2kr,2x

(5.35)

где через k обозначены вычеты. Так как цепь пассивная и У -

функция Фостера, то kri2krlikr22(krll0,krZ>0,r = 0, 1,2,.. ,k, сю).

Иррациональная цепь без потерь называется положительной, если все матрицы вычетов ее матрицы проводимостей положительно определенные или полуопределенные.

Теорема. Порядок иррациональной цепи без потерь с матрицей Y, элементы которой заданы соотношениями вида (5.35), может быть определен как сумма рангов матриц вычетов во всех полюсах на мнимой осн.

Это положение аналогично соответствующему положению о степени рациональной функции. Для доказательства теоремы необходимо показать, что после выделения изданной цепи с двумя входами отрезка коаксиальной линии (единичного элемента) порядок остающейся цепи будет на единицу меньше степени исходной цепи. Матрицу [У] этой остающейся цепи N можно представить в виде

1У1 =

о О

О V.

22 J

1 - я, к,

Уп~1щ (1 2)/2Ki,

.111 1 (1Г)/2К

, (5.36)

где iii = - = Yn(l). Обозначим элементы матрицы вычетов [КА-в полюсах элементов матрицы [У] через кни кг22 и йнг- Элементы матрицы вычетов [КА для .матрицы [У] в тех же полюсах будут равны ,11 =/г, 12 = 0, /г,22 = 122-(i и) Матрица [У] имеет полюс пли полюсы при /, = ?.д =rii/yii (/.ц ). Элементы матрицы вычетов [Кц] матрицы [У] при л = /ц определяются соотношениями Кп = Уп ( ) (1 - 4)ID = ( у (1 - Я)/ ID,

К22 = Уи (К) I (К) о. = - 1 [п (К) + к dyuld ц.

(5.37)

Согласно теореме Ричардса Уц будет положительной вещественной функцией, если Уц - положительная вещественная функция. Поэтому вычет йци положителен. Следовательно, также положителен вычет kfi22 и величина кц 12=кцикц22, исключая точку [1 = 0. Поэтому ранг матрицы [Кц] равен 1 для всех полюсов Я=лц , исключая полюс в нуле.

Если [У] имеет полюс в начале координат, тогда [У] также имеет там полюс и соответствующие вычеты равны:

konl{l - St ко и), = 012/(1 - Cl ou)

022 + ,2tl/(l-£,Vi)

(5.38)

Так как iftoii<l, то выполнение условия kmkmk\x2 ведет к выполнению условия кткй22~кт (с тем же знаком > или = ). Следовательно, ранг матрицы вычетов для [У] в начале координат равен рангу матрицы вычетов для [У].

Теперь рассмотрим полюсы [У] и [У] в бесконечности. Если Уц не имет полюс в бесконечности, то Уц имеет там нуль. Если же Уц не имеет полюса в бесконечности, то Уц имеет там полюс и вычеты находятся в соотношении

011 012 К22 = - Л1 ± i 012: li Щ,2 (5-39)

так что матрица вычетов компактна и ее ранг равен 1. Любой полюс Y22 сохраняется \ У22

Знаменатель второго члена в правой части соотношения (5.36) имеет нуль в 1=±1. Но Уц возрастает монотонно на положительной полуоси, так что пули Я=±1 выражения 1-.lyu не могут быть кратными, а только простыми. Отсюда следует, что l-XUYn имеет только простой множитель 1->Л Поэтому элемент У12 рациональный. Таким образом, после выделения единичного отрезка коаксиальной линии из заданной иррациональной цепн без потерь с двумя входами остающаяся цепь будет рациональной двух-входовой цепью с порядко.м на единицу меньше, чем исходная.

Подобное рассуждение слраведливо также и для случая нрра-циональной цепи с (т, г) входами. Можно выделить единичный коаксиальный отрезок линии из цепи с (т, г) входами со стороны 1-го входа, если все Yik, исключая У,-,-, имеют простой или кратный множитель (1-л2)/2. Остающаяся цепь будет положительной вещественной или положительной иррациональной, и ее степень будет на единицу меньше степени исходной цепи. Подобное выделение единичных элементов можно произвести таким же образом и со стороны других входов. При этом остающаяся цепь будет положительной вещественной или положительной иррациональной, если внедиагональные элементы [У] имеют множители (1-Я) достаточной кратности. Группа отрезков коаксиальных линий (единичных элементов) может рассматриваться в виде эквивалентной цепи из отрезка многопроводной линии с многообмоточными трансформаторами на концах. Поэтому из цепи с (т, г) входами можно выделить т-проводную линию или г-яроводную линию, если передача цепи с (т, г) входами слева (т входы) направо (г входы) и справа налево равна нулю при Л=1 и если матрица входных проводимостей цепи, когда на нее смотреть со стороны левых входов или правых входов, гипердоминантна при Я=1. Порядок цепи при этом уменьшается на число, равное числу проводников выделенной многопроводной линии, и остающаяся цепь является положительной вещественной или положительной иррациональной. Более детальное доказательство представлено в работе Нагаи и Матсумото [9].

5.6. НЕОДНОРОДНЫЕ ПЕРЕДАЮЩИЕ ЛИНИИ

Волноводы с переменным сечением (сужающиеся) часто используются в качестве элементов, согласующих волноводы с различными поперечными сечениями. Точно так же неоднородные передающие линии служат для согласования сопротивлений.

По теории неоднородных линий передачи опубликовано большое количество работ; некоторые из них указаны в списке литературы к этой главе [11 - 15]. В ближайшем будущем ожидается дальнейшее развитие теории неоднородных линий и их широкое применение в технике СВЧ.

Список литературы

1. Carson J. R., Hoyt R. S. Propagation of periodic currents over a system of parallel wires.- Bell System Tecti. J.>, 1927, v. 6, p. 495.

2. Matsumoto A. Propagation of waves along multiwire lines. - Monograph Ser. Res. Inst. Appl. Elec. , Hokkaido Univ., Sapporo. Japan, 1964, N. 12, p. 1 -11.

3. Youla D. C. An introduction to couple-line network ttieory. .V\emorandum 54 Pojytecti. Inst. Brooklyn, PIBMRI-960-6. Oct. 1961.

4. Saito N., Nagai K. Sufficient conditions for admittance matrix realizable in ctiaracteristic admittance of multiline. - Record Elec. Commun. Engr Conversazione*, Tohoky Univ., 1963, v. 32, N. 4, p. 1-4. (Английский перевод 6 Rept. Res. Inst. Elec. Commun., Tohokv Univ., Sendai. Japan SCI.REP.RITU-B, 1964, v. 16, N. 1, p. 1-8). P

5. Matsumoto A. Fundamental properties of a network consisting of an n-wire Ime terminated at one end. - Monograpti Ser. Res. Inst Appl Elec Hokkaido Univ., Sapporo, Japan, 1963, N. 11, p. 13-18.

6. Nagai N. Distributed equivalents of foster sections. - Bull. Res. Inst. Appl. Elec. , Hokkaido Univ., Sapporo, Japan, v. 16, 1964, N. 4, p. 174-183. (на английском языке).

7. Matsumoto A., Nagai N. Synttiesis of multiports with multiwire line sections.- xMonograph Ser. Res. In=t Appl. Elec. . Hokkaido Univ., Sapporo, Japan 1964 N. 12,p. 1 - 17.

8. Nagai N., Matsumoto A. Fundamental properties of irrational networks.-i Bull. Res. Inst. Appl. Elec. , Hokkaido Univ., Sapporo, Japan 1965 v 17 N. 3, p. 121-137. . .

9. Nagai N.. Matsumoto A. Extraction of unit multiwire line from lossless irrational multiport networks. - J. Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, 1966 V. 49, N. 12, p. 2423-2430 (на японском языке).

10. Saito N. Richards theorem expanded into a two-pair terminals network. - J. Inst. Elec. Commun. Engr. , Japan, 1961, v. 44, N. 7, p. 1033-1036 (на японском языке).

11. Berensee R. M. Non-uniform TE.M transmission line, Pt. 1-lossless and log-periodic properties. - Proc. IEE , London, 1965. v. 112, p. 644-654 (на японском языке).

12. Heim D. H., Sharpe C. S. The synthesis of nonuniform lines of finite length Pt. 1. - 1ЕЕЕ Trans. Circuit Theory , 1967, v. CT-14, p. 394-403 (часть II готовится к печати).

13. Klopfenstein R. W. A transmission line taper of improved design. - Proc IRE , 1956, v. 44, p. 31-35. f e

14. Yamamoto S., Azakami Т., Itakura K. Coupled nonuniform transmission line and its applications.- IEEE Trans. Microwave Theory Tech. , 1967 .MTT-15 p. 220-231,

15. Youla D. C. Analysis and synthesis of arbitrarily terminated lossless nonuni-foim lines. - iEEE Trans. Circuit Theory , 1964, v. CT-11, p. 363-372.